Trabajar con expresiones algebraicas de grado 1 y 2

Cuando los estudiantes dan el salto de las ecuaciones de grado 1 a grado 2, a veces se convierte en un momento crítico porque el nivel de abstracción aumenta, y hay situaciones donde el docente se limita a mostrar esa fórmula que muchos de los chavales aprenden de manera mecánica como "menos be más menos la raíz cuadrada..." y colocan todo en la ecuación buscando un a, un b y un c, que les permita colocarlo en esa fórmula que ejecutan casi como un mantra.

Vamos a trabajar en esta entrada con la representación utilizando "algebra tiles" como un paso previo que nos conducirá a completar cuadrados para resolver la ecuación.

Empezamos con las expresiones algebraicas. Es necesario antes de introducir las ecuaciones que los estudiantes tengan un dominio adecuado del trabajo con expresiones. Así que hoy voy a partir de esta aplicación:

Fuente: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Algebra-Tiles/

La aplicación nos permite ilustrar el significado de qué es la multiplicación de expresiones. El producto de dos binominos de grado 1, da lugar a una expresión de grado 2 (polinomio). Colocamos los bordes y vamos completando el área de la expresión, contando podremos colocar la solución arriba:

Trabajar en los dos sentidos puede facilitar la comprensión, es decir, partir del producto para llegar a la expresión de segundo grado, o partir de ese polinomio de grado 2 para llegar al producto de binomios de grado 1.

Desde este producto iniciaremos ¿qué significa igualar a cero esta expresión? ¿Qué significa resolver la ecuación?

Utilizando https://mathbits.com/MathBits/AlgebraTiles/AlgebraTiles/AlgebraTiles.html podemos ilustrar de forma gráfica el trabajo desde los números enteros hasta el que acabamos de ver como producto de binomios.

Me gustaría partir desde esta solución, ¿qué significa resolver una ecuación de segundo grado?
1. Tenemos un polinomio, que igualamos a cero, y estamos buscando sus raíces.
2. Dado que la expresión para el polinomio de grado 2, vendría del resultado de dos monomios, tendríamos que empezar desde qué significa que el producto de dos monomios (o dos expresiones cualesquiera) sea igual a cero, podríamos decir que una de las dos ha de ser cero, o las dos.

Esta reflexión nos conducirá a la resolución.

Para ello vamos a utilizar una aplicación que nos facilita construir nuestra propia representación y diseñar expresiones que nos conducen a productos y a resoluciones.

https://mathsbot.com/manipulatives/tiles

¿Diseñamos nuestras actividades a partir de estas aplicaciones o construyendo nuestro material manipulativo utilizando estas aplicaciones como base?

No quiero terminar la entrada sin mencionar la representación gráfica, desde una balanza, algo que me parece facilitador para entender el significado físico de una expresión y después de una ecuación desde su representación en los ejes de coordenadas.
¿Qué es la solución de una ecuación? En este caso lo interpretamos como dos funciones que se encuentran a uno y otro lado de la igualdad.

Fuente: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Pan-Balance----Numbers/