Trabajar con expresiones algebraicas de grado 1 y 2

Cuando los estudiantes dan el salto de las ecuaciones de grado 1 a grado 2, a veces se convierte en un momento crítico porque el nivel de abstracción aumenta, y hay situaciones donde el docente se limita a mostrar esa fórmula que muchos de los chavales aprenden de manera mecánica como "menos be más menos la raíz cuadrada..." y colocan todo en la ecuación buscando un a, un b y un c, que les permita colocarlo en esa fórmula que ejecutan casi como un mantra.

Vamos a trabajar en esta entrada con la representación utilizando "algebra tiles" como un paso previo que nos conducirá a completar cuadrados para resolver la ecuación.

Empezamos con las expresiones algebraicas. Es necesario antes de introducir las ecuaciones que los estudiantes tengan un dominio adecuado del trabajo con expresiones. Así que hoy voy a partir de esta aplicación:

Fuente: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Algebra-Tiles/

La aplicación nos permite ilustrar el significado de qué es la multiplicación de expresiones. El producto de dos binominos de grado 1, da lugar a una expresión de grado 2 (polinomio). Colocamos los bordes y vamos completando el área de la expresión, contando podremos colocar la solución arriba:

Trabajar en los dos sentidos puede facilitar la comprensión, es decir, partir del producto para llegar a la expresión de segundo grado, o partir de ese polinomio de grado 2 para llegar al producto de binomios de grado 1.

Desde este producto iniciaremos ¿qué significa igualar a cero esta expresión? ¿Qué significa resolver la ecuación?

Utilizando https://mathbits.com/MathBits/AlgebraTiles/AlgebraTiles/AlgebraTiles.html podemos ilustrar de forma gráfica el trabajo desde los números enteros hasta el que acabamos de ver como producto de binomios.

Me gustaría partir desde esta solución, ¿qué significa resolver una ecuación de segundo grado?
1. Tenemos un polinomio, que igualamos a cero, y estamos buscando sus raíces.
2. Dado que la expresión para el polinomio de grado 2, vendría del resultado de dos monomios, tendríamos que empezar desde qué significa que el producto de dos monomios (o dos expresiones cualesquiera) sea igual a cero, podríamos decir que una de las dos ha de ser cero, o las dos.

Esta reflexión nos conducirá a la resolución.

Para ello vamos a utilizar una aplicación que nos facilita construir nuestra propia representación y diseñar expresiones que nos conducen a productos y a resoluciones.

https://mathsbot.com/manipulatives/tiles

¿Diseñamos nuestras actividades a partir de estas aplicaciones o construyendo nuestro material manipulativo utilizando estas aplicaciones como base?

No quiero terminar la entrada sin mencionar la representación gráfica, desde una balanza, algo que me parece facilitador para entender el significado físico de una expresión y después de una ecuación desde su representación en los ejes de coordenadas.
¿Qué es la solución de una ecuación? En este caso lo interpretamos como dos funciones que se encuentran a uno y otro lado de la igualdad.

Fuente: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Pan-Balance----Numbers/

Sumas y restas que bien valdrían una ecuación

Domingo por la tarde, comienza a hacer frío ahí afuera, y además llueve, así que nos quedamos en casa y vamos a hacer con los chicos un sencillo juego con pinzas de la ropa y un puñado de depresores.
Primero tenemos que preparar el material, será suficiente con un par de rotuladores para construir el material definitivo del juego.

Los depresores tendrán diferentes situaciones con las operaciones, sumas y restas, y comenzaremos por números pequeños.

 

Las pinzas tendrán números, con diferentes tipos de representación.

Para los peques más pequeños, solo sumas, y solo una representación con puntos. Según los niños vayan teniendo adquirido el algoritmo de la suma podremos cambiar la representación de los números.

Este tipo de materiales podemos utilizarlos para conteo y ordenación de los números, será suficiente con utilizar un cordón de zapato donde vayamos colocando las pinzas, o construcciones únicamente desde el depresor y que la cuerda sea el contador como en la figura de la parte inferior.

Resolviendo ecuaciones

En una entrada previa Ay... el nene trae hoy ecuaciones practicamos la resolución de ecuaciones con la balanza del osito, desde la comprensión de lo que significa.
Ahora me voy a lo digital a la balanza de ecuaciones, que seguro os viene bien a los que tengáis peques más mayores. Es una aplicación del Gobierno de Asturias, muy sencilla de manejar y que se verá la expresión física de lo que significa la ecuación y su resolución.
¿Te animas a jugar?

Fuente:
https://www.matematicasonline.es/flash/balanza/balanza1.htm

Ay... el nene trae hoy ecuaciones

Ese momento en el que te enseña la hoja de deberes y ves... ¡ecuaciones!.
Y a la cabeza te viene eso de lo que está sumando pasa restando, y lo que multiplica pasa dividiendo, pero... ¿qué era eso?
Vamos a comenzar explicando al chaval lo que significa igual, y tú me dirás, pues eso, un signo de resultado, ¡error! El igual tiene varios significados, y muchos niños tienen problema con eso, veamos de una forma sencilla:

1. Yo tengo 5+3=

El significado de ese igual es "resultado", es una igualdad numérica.

2. Yo tengo x+2=3

El significado de ese igual es "equivalencia", esto es una igualdad algebraica.

Y hay más cosas, como el a+b=5 que también es algebraica pero distinta, ...

Pero tranquilas para lo que estamos aquí es para distinguir las situaciones 1) y 2), y que nuestros peques aprendan a resolver ecuaciones, pero entendiéndolas.

Los niños suelen ver este signo como un "operador" no como un signo que relaciona, ¡hemos de enseñarles que con el igual no hay que hacer nada, que sirve para guiarnos simplemente ahora en el inicio!.
Primero vamos a practicar operaciones, por escrito, AQUÍ podéis decargar algunas páginas fotocopiables.
Una vez que ya tengan dominio de la suma y la resta, vamos a la ecuación. Pero primero desde los ejemplos,
x+2=3: María tiene 2 euros y Juan le da alguno más, y ahora tiene 3, ¿cuántos le da Juan?

Es importante que interpreten el significado de la incógnita, podemos acompañar nuestro ejemplo con irles escribiendo la ecuación.

Desde este contexto, será sencillo saber porque hemos de resolver haciendo 3-2, porque los euros que tiene después, quitándole los que tenía María, me resulta los que dió Juan.
Así, puedes seguir con otro ejemplo, y otro...

Para practicar online cuando ya sepan resolver las más sencillas:
http://web.educastur.princast.es/ies/pravia/carpetas/recursos/mates/recursos_2005/interactivos/balanza/balanza1.htm