sábado, 5 de noviembre de 2022

Sistema de ecuaciones y la necesidad del saber por qué

 Con este título me quiero acercar a los tres métodos que contamos a los chavales para resolver los sistemas de ecuaciones, con dos ecuaciones y dos incógnitas. Esto es debido a que esta semana en una conversación escuché que era necesario pedir a los estudiantes, sustitución, reducción y eliminación, para asegurarnos que saben resolver.

He de confesar que estas cosas me preocupan, qué estamos intentando que el chaval sepa lo que significa, o que interactúe con números y letras para hacer prácticas con las operaciones. Voy a ilustrar mis palabras con un ejemplo, para dar lugar a la reflexión de las personas que enseñan.

g+r=4

2g+r=5

Voy a utilizar las regletas para ilustrar su significado, la g será la verde (green) y la r la roja (red).
La representación de ambas ecuaciones es entonces:


Si nos fijamos la roja y la verde son cuatro unidades, como señala la primera de las ecuaciones. Esto podremos ponerlo en la segunda ecuación, es decir:
Si entendemos la ecuación con un equilibrio entre los dos términos podremos ir eliminando baldosas en ambos lados:

Nuestra regleta verde tiene un valor de 1, cuidado, no es uno, sino que tiene un valor de una unidad.
Podemos regresar por ejemplo a la primera de las ecuaciones:
Volvemos al concepto de equilibrio entre ambos términos, para darnos cuenta que nuestra regleta roja tiene un valor de 3 unidades.
¿He aprendido a resolver sistemas de ecuaciones? o ¿el significado de resolver ecuaciones?
No, he resuelto un sistema, más o menos elegido (por el docente) con unas características particulares, para que como suelen decir los chavales "te salga bien", y es que estas situaciones siempre me recuerdan a cuando me decían cosas del tipo "profe, es que como no te da un número normal pensaba que lo había hecho mal", cuando querían referirse a que el resultado no era un número entero.

Vayamos atrás, a tener solo una ecuación, es ahí donde deberíamos entender su significado, donde tenemos que asegurarnos que el estudiante sabe con qué está jugando. Por ejemplo, entendiendo el significado del signo igual como equilibrio en una igualdad de dos términos. Si ese momento no trabajamos para que la comprensión sea adecuada, después resolverán, por un método o por los tres, incluso lo colocarán como matrices y resolverán con cosas como el cálculo de la inversa, que como todo es mecánico suele gustarles mucho, pero... seguirán jugando con números o formas de representación, pero seguirán sin saber qué es una ecuación con dos variables, o a qué representa mejor.

Vayamos a la primera de las ecuaciones:
g+r=4

g y r son dos números que siempre suman 4. Esto lo hacemos mucho en edades tempranas, bajo la consigna de busca los amigos del cuatro:

1 y 3
3 y 1
2 y 2
0 y 4
4 y 0

Estas son las parejas candidatas si pensamos en números naturales, ¿las representamos?
Podemos unirlos y comprar que cualquiera de las parejas de puntos sobre esa línea cumple las condiciones de nuestra ecuación.

Y si colocamos la otra ecuación ¿qué es lo que sucederá?


Sabemos entonces lo que es ese par de ecuaciones, dos rectas que se encuentran en un punto, que es la solución del sistema. 

Hemos encontrado un significado desde el conocimiento de las matemáticas, pero volvemos a la pregunta, nuestro estudiante sabrá realmente el significado de una ecuación, un sistema de ecuaciones y una solución. Pues creo que aún no, vamos a darle un contexto, que he de decir que no siempre se encuentran enunciados verbales apropiados o que al menos no suenen a "voy a inventarme cualquier cosa que se explique con una ecuación", tenemos ejemplos variados, de padres e hijos que combinan edades linealmente, números de dos cifras que sirven como números que combinar para la ecuación, o vamos a las facturas de electricidad por ejemplo:

La factura de electricidad de la tienda de mi madre tiene dos partes, una cuota fija y otra que depende del consumo. Este mes mi madre ha pagado 400 euros, mientras que el pasado septiembre, que gastó el doble de electricidad, porque hacía frío y tuvo que poner la calefacción, pagó 500 euros. ¿Cuánto paga mi madre en las facturas aunque no gaste nada? ¿Cuánto pagó mi madre de consumo en el mes de septiembre?

Nuestras ecuaciones en este caso serán:
r= cuota fija
g= consumo en septiembre

g+r=400

2g+r=500

El valor para nuestras regletas será entonces:

g= 100

r= 300

La factura no parece muy justa, porque se paga muchísimo de cuota fija, ¿no os parece? Si mi madre cierra la tienda y no gasta, pagará un mínimo muy elevado.

Pero además ahora el contexto me permitirá interpretar la solución al sistema, dejando de ser un número sin más, y además me da cierta proyección de futuro, cuando añadamos datos como el número de horas que mi madre tuvo gasto eléctrico en septiembre, y que me permitirán mayor juego con ambas ecuaciones. O nuestros estudiantes a partir de sus propias facturas podrán realizar cálculos, o formular ecuaciones a partir de la factura de un mes cualquiera.

Parece que he ido al revés, empecé con un sistema, lo representé, lo volví a representar de otra forma, lo resolví, y para terminar planteé un problema y lo volví a resolver. Que evitamos de esta manera, creo:

1. Que los estudiantes desde el enunciado verbal coloquen las incógnitas (que como vemos no tienen que llamarse x e y) en el orden en que las encuentran.

2. De esta manera si el estudiante no interpreta el enunciado verbal de manera correcta al traducirlo al lenguaje algebraico, podemos discernir si el error es la resolución (procedimientos) o la comprensión del enunciado.

3. Que es más sencillo interpretar el signo igual como equilibrio entre dos términos, al haber utilizado las representaciones (varias) de manera previa al contexto.


* ¿Qué hemos utilizado para las representaciones gráficas?