Poesía y matemáticas en Educación Infantil

Mi entrada de hoy he de agradecérsela a Purificación Rodríguez, estudiante del curso de Formación Permanente de UNED "Los Algoritmos o cómo Enseñar a Hacer las Operaciones Fundamentales en Matemáticas", que aprovecho para indicar que este será el último año que lo ofrezcamos, dado que vamos a sustituir por otro más actualizado y rico en actividades con el título "La resolución de problemas como contexto de aprendizaje para las operaciones fundamentales" del que os contaré algunas cosillas más adelante.

Bueno, pues regreso a donde estaba, y a la actividad que Purificación propuso en una de las actividades a partir de un poema de Gloria Fuertes "En el árbol de mi pecho":

En el árbol de mi pecho

hay un pájaro encarnado.

Cuando te veo se asusta,

aletea, lanza saltos.

En el árbol de mi pecho

hay un pájaro encarnado.

Cuando te veo se asusta,

¡eres un espantapájaros!

La propuesta parte de un árbol de Gloria Fuertes no con uno, sino con 7 pájaros encarnados, que cuando ven el espantapájaros se asustan y 4 pájaros se van volando. ¿Queda algún pájaro en

el árbol de Gloria? ¿Cuántos pájaros se quedan en el árbol?

Se trata de un problema de concepción unitaria, en el que hay un único conjunto que sufre una transformación. Hay una cantidad inicial que cambia al quitarle una "cantidad de cambio". Es un problema de cambio decreciente con cantidad final desconocida. 

Analicemos la representación realizada:

Esta representación tendría tiempos, y no podemos verla de un modo estático como la imagen, sino que tendríamos tres momentos en la representación:

1. El árbol con los 7 pájaros

2. Donde vamos quitando uno a uno que se van volando hasta completar 4

3. Observando el árbol tal como queda para contar los pájaros que no se asustaron

Hacer a los niños partícipes de la construcción de la representación, y plantear la operación a partir de la sucesión de hechos nos facilita observar si han comprendido o no el sentido del cambio en el problema.

Recomiendo leer el artículo completo de Aguilar et al. (2003), donde dice:

Las consideraciones anteriores ponen en evidencia que hasta los problemas aritméticos de suma y resta necesitan diversos esquemas que ayuden a formarse una representación adecuada para su resolución. Los niños y niñas necesitan conocimiento estratégico para elegir los esquemas adecuados a los distintos tipos de problemas que mejoren la representación de los mismos. La investigación en resolución de problemas aritméticos proporciona pruebas razonables de que poseer estrategias que se basen en un conocimiento conceptual del tipo de esquema mejora la solución (Baroody y Hume, 1991; Cawley y Parmar, 1992; Wooward y Montague, 2000; Jitendra, Dipipi y Perron-Jones, 2002) (p. 389).

* Gracias Purificación por permitirme utilizar tu actividad, como ejemplo en este blog. ¡Seguimos aprendiendo juntos! 

Referencias:
Aguilar, M., Navarro, J. I., & Alcalde, C. (2003). El uso de esquemas figurativos para ayudar a resolver problemas aritméticos. Cultura y Educación, 15(4), 385-397. https://journals.sagepub.com/doi/pdf/10.1174/113564003322712956

Sistema de ecuaciones y la necesidad del saber por qué

 Con este título me quiero acercar a los tres métodos que contamos a los chavales para resolver los sistemas de ecuaciones, con dos ecuaciones y dos incógnitas. Esto es debido a que esta semana en una conversación escuché que era necesario pedir a los estudiantes, sustitución, reducción y eliminación, para asegurarnos que saben resolver.

He de confesar que estas cosas me preocupan, qué estamos intentando que el chaval sepa lo que significa, o que interactúe con números y letras para hacer prácticas con las operaciones. Voy a ilustrar mis palabras con un ejemplo, para dar lugar a la reflexión de las personas que enseñan.

g+r=4

2g+r=5

Voy a utilizar las regletas para ilustrar su significado, la g será la verde (green) y la r la roja (red).

La representación de ambas ecuaciones es entonces:

Si nos fijamos la roja y la verde son cuatro unidades, como señala la primera de las ecuaciones. Esto podremos ponerlo en la segunda ecuación, es decir:

Si entendemos la ecuación con un equilibrio entre los dos términos podremos ir eliminando baldosas en ambos lados:

Nuestra regleta verde tiene un valor de 1, cuidado, no es uno, sino que tiene un valor de una unidad.

Podemos regresar por ejemplo a la primera de las ecuaciones:

Volvemos al concepto de equilibrio entre ambos términos, para darnos cuenta que nuestra regleta roja tiene un valor de 3 unidades.

¿He aprendido a resolver sistemas de ecuaciones? o ¿el significado de resolver ecuaciones?

No, he resuelto un sistema, más o menos elegido (por el docente) con unas características particulares, para que como suelen decir los chavales "te salga bien", y es que estas situaciones siempre me recuerdan a cuando me decían cosas del tipo "profe, es que como no te da un número normal pensaba que lo había hecho mal", cuando querían referirse a que el resultado no era un número entero.

Vayamos atrás, a tener solo una ecuación, es ahí donde deberíamos entender su significado, donde tenemos que asegurarnos que el estudiante sabe con qué está jugando. Por ejemplo, entendiendo el significado del signo igual como equilibrio en una igualdad de dos términos. Si ese momento no trabajamos para que la comprensión sea adecuada, después resolverán, por un método o por los tres, incluso lo colocarán como matrices y resolverán con cosas como el cálculo de la inversa, que como todo es mecánico suele gustarles mucho, pero... seguirán jugando con números o formas de representación, pero seguirán sin saber qué es una ecuación con dos variables, o a qué representa mejor.

Vayamos a la primera de las ecuaciones:

g+r=4

g y r son dos números que siempre suman 4. Esto lo hacemos mucho en edades tempranas, bajo la consigna de busca los amigos del cuatro:

1 y 3

3 y 1

2 y 2

0 y 4

4 y 0

Estas son las parejas candidatas si pensamos en números naturales, ¿las representamos?

Podemos unirlos y comprar que cualquiera de las parejas de puntos sobre esa línea cumple las condiciones de nuestra ecuación.

Y si colocamos la otra ecuación ¿qué es lo que sucederá?

Sabemos entonces lo que es ese par de ecuaciones, dos rectas que se encuentran en un punto, que es la solución del sistema. 

Hemos encontrado un significado desde el conocimiento de las matemáticas, pero volvemos a la pregunta, nuestro estudiante sabrá realmente el significado de una ecuación, un sistema de ecuaciones y una solución. Pues creo que aún no, vamos a darle un contexto, que he de decir que no siempre se encuentran enunciados verbales apropiados o que al menos no suenen a "voy a inventarme cualquier cosa que se explique con una ecuación", tenemos ejemplos variados, de padres e hijos que combinan edades linealmente, números de dos cifras que sirven como números que combinar para la ecuación, o vamos a las facturas de electricidad por ejemplo:

La factura de electricidad de la tienda de mi madre tiene dos partes, una cuota fija y otra que depende del consumo. Este mes mi madre ha pagado 400 euros, mientras que el pasado septiembre, que gastó el doble de electricidad, porque hacía frío y tuvo que poner la calefacción, pagó 500 euros. ¿Cuánto paga mi madre en las facturas aunque no gaste nada? ¿Cuánto pagó mi madre de consumo en el mes de septiembre?

Nuestras ecuaciones en este caso serán:

r= cuota fija

g= consumo en septiembre

g+r=400

2g+r=500

El valor para nuestras regletas será entonces:

g= 100

r= 300

La factura no parece muy justa, porque se paga muchísimo de cuota fija, ¿no os parece? Si mi madre cierra la tienda y no gasta, pagará un mínimo muy elevado.

Pero además ahora el contexto me permitirá interpretar la solución al sistema, dejando de ser un número sin más, y además me da cierta proyección de futuro, cuando añadamos datos como el número de horas que mi madre tuvo gasto eléctrico en septiembre, y que me permitirán mayor juego con ambas ecuaciones. O nuestros estudiantes a partir de sus propias facturas podrán realizar cálculos, o formular ecuaciones a partir de la factura de un mes cualquiera.

Parece que he ido al revés, empecé con un sistema, lo representé, lo volví a representar de otra forma, lo resolví, y para terminar planteé un problema y lo volví a resolver. Que evitamos de esta manera, creo:

1. Que los estudiantes desde el enunciado verbal coloquen las incógnitas (que como vemos no tienen que llamarse x e y) en el orden en que las encuentran.

2. De esta manera si el estudiante no interpreta el enunciado verbal de manera correcta al traducirlo al lenguaje algebraico, podemos discernir si el error es la resolución (procedimientos) o la comprensión del enunciado.

3. Que es más sencillo interpretar el signo igual como equilibrio entre dos términos, al haber utilizado las representaciones (varias) de manera previa al contexto.

* ¿Qué hemos utilizado para las representaciones gráficas?

https://mathsbot.com/manipulatives/rods

https://www.geogebra.org/

Los primeros diagramas de barras

Los contenidos estadísticos tradicionalmente se dejaron para el final de los temarios, y eso ha hecho que la formación estadística de base sea bastante pobre porque en muchos casos los estudiantes no han trabajado estos contenidos casi hasta llegar al bachillerato de ciencias sociales.

Sin embargo creo que son contenidos necesarios, sobre todo porque facilitan la interpretación de los datos, la comprensión de gráficos, o la capacidad de contrastar informaciones numéricas de distintas fuentes.

Iniciemos con un vídeo:

El vídeo nos facilita una situación sencilla, donde a través del conteo del color de los coches (variables cualitativas) se da lugar a lo que podría ser una tabla de frecuencias absolutas y desde ahí a un diagrama de barras. He de comentar que este diagrama sería más adecuado si tuviese las barras separadas, dado que estamos tratando con una variable discreta.

Para acompañar a esta situación, podemos repartir policubos de colores entre los niños/as y construir nuestros propios diagramas. 

Es importante que desde el inicio dejemos claro que a priori, casi cualquier información puede recogerse en una tabla y por tanto un diagrama, pero que no siempre facilitan información y que hemos de ser críticos en elegir aquellos diagramas que sí nos facilitan información y por tanto interpretaciones.

Esta situación puede enriquecerse con materiales más cercanos a los niños. En el vídeo que enlazo a continuación la actividad estadística se plantea en dos partes, primero una clasificación y más tarde la representación en un tablero que simula el desarrollo de un sistema de coordenadas. Este trabajo es muy rico, primero por la cercanía del material y segundo por las discusiones que podemos entablar entre los niños tanto en la actividad de representación como en la de clasificación.

Fuente: https://earlymath.erikson.edu/shoe-graph-3-5-year-old-childrens-education-programs-and-activities/

El único error que creo que tenemos por aquí es que los niños estén quietos en una zona del tablero, quizá está condicionado por el tamaño de la clase.

Los problemas de multiplicación y su representación

Este año he tenido la oportunidad de tener reuniones con maestros en activo en distintos claustros, y ha sido una oportunidad maravillosa para mí, tanto para aprender como para reflexionar sobre algunos de los obstáculos de aprendizaje que podemos mejorar con sencillas aportaciones desde la didáctica.

Hoy me voy a centrar en uno de los contenidos de esas observaciones: la multiplicación; pero no desde el algoritmo al que dedicaré en breve otra entrada, sino desde los problemas.

Empecemos por situar la conversación desde el análisis del material que tenían delante:

- ¿Qué tipo de problemas utilizáis para trabajar la multiplicación?
- Bueno, los que vienen en el libro.
- ¿Os habéis fijado que no todos son iguales?
- Sí, los datos cambian, y la forma de preguntar.
- Pero no solo eso, sino el tratamiento de la operación y las posibles formas de representar.
- ¿Ah sí, en esta operación también?

Bien, pues, la situación ante la multiplicación es que además de estar anclada en la resolución de los problemas que aparecen en los libros de texto, tiene el lastre de las tablas de multiplicar, y parte de su enseñanza se centra en esa memorización sin ningún tipo de comprensión. Pero no entremos en valoraciones, sino en los tipos de problemas que podemos trabajar inicialmente con los chicos que están situando la multiplicación.

Los problemas de multiplicación se sitúan en lo que llamamos problemas de estructura multiplicativa, y ahí colocamos tanto los que implican el uso de la multiplicación como los de división. Vamos a intentar separar ambos tipos.

De manera general, los tipos de estos problemas de estructura multiplicativa según Vergnaud son:

I) Isomorfismo de medidas, problemas cuya estructura consiste en una proporción entre dos espacios de medidas M1 y M2; II) Un solo espacio de medidas, problemas en los que se establece una correspondencia entre dos cantidades y un operador escalar designado por la palabra veces, y III) Producto de medidas, problemas cuya estructura consiste en la composición cartesiana de dos espacios de medidas M1 y M2 en un tercero, M3.

Fuente: Ivars y Fernández (2016, p. 11)

En el primer tipo, isomorfismo de medidas, encontramos problemas que establecen una relación entre cuatro cantidades, tres de ellas conocidas.

Ejemplo 1.

Si un kilo de naranjas me cuesta 3 euros, ¿cuánto me cuestan 5 kilos?

La situación inicial sería algo así, y nosotros tenemos que repetir esta situación que relaciona 1 y 3, con 5 y la cantidad desconocida.

Tendríamos una situación en forma de tabla similar a:

Ejemplo 2. 

En el árbol que hay frente a mi ventana hay 2 nidos. Cada uno tiene 7 huevos. ¿Cuántos huevos hay  en total?

La representación de la situación sería ahora algo así:

Como vemos pueden representarse por un esquema análogo, que relaciona las cuatro cantidades con las que el problema trabaja.

Este tipo de problemas puede variar su dificultad dependiendo su utilizamos cantidades discretas o continuas, y si los números son naturales, enteros o decimales. Claramente, si estamos introduciendo la operación el objetivo serían números naturales y cantidades discretas.

Los problemas de producto de medida "consisten en una relación ternaria entre tres cantidades, de las cuales, una es el producto de las otras dos, tanto en el plano numérico como el plano dimensional" (Vergnaud, 1997, p. 211).

Ejemplo 3.

Se pueden combinar faldas y camisas para vestirnos. Si tengo 3 camisas y dos faldas, ¿de cuántas formas puedo vestirme?

Para trabajar estos problemas, me gusta utilizar la representación en forma de árbol para su resolución:

 

No quiero terminar sin hacer una recomendación, que espero tener tiempo de desarrollar más en profundidad en una entrada posterior y es la importancia y/o influencia de la estructura aditiva en la multiplicativa, que la investigación de Fernández y Llinares (2011), desarrolla a partir de una experiencia de resolución de problemas con estudiantes de primaria.

Los problemas de un solo espacio de medidas, son problemas donde se establece una comparación entre dos cantidades, "una de estas cantidades actúa como referente y la otra como comparado y la comparación entre ambas se realiza mediante un escalar" (Ivars y Fernández, 2015, p. 329). Será importante tomar conciencia de que dependiendo cuál sea la cantidad ausente, el problema puede ser más o menos asequible dependiendo el momento de aprendizaje del estudiante. 

Ejemplo 4.

A Carmina su abuelo le da 3 euros cada semana. Su hermana María recibe 2 veces más. ¿Cuánto dinero recibe María cada semana?

La representación de este problema podría ser algo así:

Si he dejado para el final este tipo de problemas, precisamente ha sido porque son la tipología que cuando visito aulas se producen un mayor número de obstáculos precisamente por la traducción que se hace del lenguaje natural.

El primer tipo de obstáculo tiene lugar cuando no utilizamos representación, y es lo que se llama "error de inversión". Este tipo de error se produce al confundir en la traducción el lenguaje natural al algebraico. Si bien es verdad en este tipo de problemas sencillos con cantidades pequeñas no hay mucho lugar a confusión, aparecen por ejemplo en problemas "Hay cuatro veces más niños que niñas en una guardería", donde las interpretaciones erróneas (Laserna, Arnau y González, 2014, p. 105) que se pueden hacer en esta situación son:

4 * NIÑOS = NIÑAS 

NIÑAS = 4 * NIÑOS 

NIÑOS * 4 = NIÑAS 

NIÑAS = NIÑOS * 4 

NIÑOS = NIÑAS / 4 

NIÑAS / 4 = NIÑOS 

NIÑAS / NIÑOS = 4 

4 = NIÑAS / NIÑOS

El segundo tipo de obstáculo proviene de la traducción literal del enunciado, que podría dar lugar a una representación así:

Esta interpretación surge de añadir la estructura multiplicativa a la aditiva, e interpretar "dos veces más" no como el doble sino como un "añadido" a la cantidad inicial.

Por lo tanto, en este último tipo de problemas hemos de ser mucho más conscientes en su enseñanza de los posibles obstáculos que pueden tener lugar.

Referencias bibliográficas:

Ivars, P. & Fernández, C. (2016). Problemas de estructura multiplicativa: Evolución de niveles de éxito y estrategias en estudiantes de 6 a 12 años. Educación matemática, 28(1), 9-38. http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-58262016000100009

Fernández, C. y Llinares, S. (2011). Del aditivo a la estructura multiplicativa: El efecto de dos variables en el desarrollo del razonamiento proporcional. Journal for the Study of Education and Development, 34(1), 67-80. https://doi.org/10.1174/021037011794390111

Ivars, P. y Fernández, C. (2015). Evolución de los niveles de éxito en la resolución de problemas de estructura multiplicativa en Educación Primaria. En C. Fernández, M. Molina y N. Planas (eds.), Investigación en Educación Matemática XIX (pp. 327-334). Alicante: SEIEM. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5227411

Laserna, B., Arnau, D. y González, J.A. (2014). La coincidencia del orden de las palabras como un modelo explicativo al error de inversión. En J.L.González, J.A. Fernández-Plaza, E. Castro-Rodríguez, M.T. Sánchez, C. Fernández, J.L. Lupiáñez y  L. Puig (Eds.), Investigaciones en Pensamiento Numérico y Algebraico e Historia de las Matemáticas y Educación Matemática - 2014 (pp. 101-108). Málaga: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM). http://funes.uniandes.edu.co/5350/

Vergnaud, G. (1997). El niño, las matemáticas y la realidad. México: Trillas.

Una primera aproximación a las fracciones

En estos días me han llegado distintas consultas sobre el trabajo con las fracciones, por ello he querido grabar un vídeo y aportar unos poquitos recursos para que podáis utilizar.

Recursos:

1. Regletas: https://mathsbot.com/manipulatives/rods
2. Muro de fracciones: https://mathsbot.com/manipulatives/fractionWall
3. Fracciones equivalentes: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Equivalent-Fractions/
4. Representando fracciones: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Fraction-Models/
5. Jugando con las fracciones: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Fraction-Game/
6. Repartos: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/The-Quotient-Cafe/
7. Factorizar números: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Factorize/
8. Representaciones en conjuntos discretos: https://www-k6.thinkcentral.com/content/hsp/math/hspmath/na/common/itools_int_9780547584997_/counters.html
9. Tareas e imprimibles: https://www.superteacherworksheets.com/fractions-basic.html
10. Jugando con las pizzas: Jugando con las pizzas: https://mrnussbaum.com/tony-fraction-s-pizza-shop-in-spanish-online-game
11. Representación visual de las fracciones: https://www.visualfractions.com/teachers/
12. Jugando con las pizzas: https://mrnussbaum.com/tony-fraction-s-pizza-shop-in-spanish-online-game