Del plano al espacio... manualidades para contar historias

Estos días estoy en el Congreso del CEPLI en Cuenca, y he tenido la suerte de conocer personas que llegaron desde distintos lugares del mundo para compartir materiales y recursos apoyados en la lectura, la narración de historias, la ilustración, ...

Esta mañana al llegar a mi lugar, una de las profesoras chilenas nos facilitó un taller para construir tarjetas, que transforman el plano en el espacio. Donde podemos trabajar con posiciones (geometría proyectiva), delante-detrás, arriba-abajo, dentro-fuera, ...

Os muestro alguno de los productos del taller, si bien, lo más interesante será contar historias con ellos. 

Iniciemos con un rectángulo de papel que doblamos por la mitad, mejor con un papel grueso (o cartulina). Un dibujo de un rectángulo sobre el lado del doblez, o dos o tres... tantos como elementos quieras incorporar al escenario.

Cortaremos los lados, y doblaremos adelante y atrás estos pequeños rectángulos.

Y ahora... pensemos en la historia que queremos contar. El escenario mágico que queremos construir cuando los niños/as abran la pequeña tarjeta y se encuentren ante el escenario donde se va a relatar la historia.

El cuenco está encima del gatito que lo está buscando para comérselo, y a su derecha tiene el juguete que le han comprado nuevo. Un poco atrás, por debajo de las nubes. Detrás de la hierba...

¿Os animáis a construir vuestros escenarios?

Entre área y perímetro

La entrada de hoy parte de la lectura de un artículo de investigación, y me gustaría aportar algunas ideas para trabajar estos dos conceptos en el aula a partir de la lectura. El artículo incluye una serie de estrategias para trabajar en el aula, pensando en estudiantes con discapacidad, pero creo que puede ser válida en cualquier diseño de situaciones de aprendizaje con cualquier alumnado. Valoro este tipo de artículos científicos especialmente, por la sencillez de cómo trata la información y por la utilidad que puede suponer en las aulas de la escuela.

Inicio dando la referencia completa del artículo, por si alguien quiere consultarlo (no es en abierto). Utilizaré algunas expresiones literales (y traducidas) tomadas del citado artículo y que incluiré entre comillas.

King, S., Rojo, M., & Bryant, D. P. (2023). Demystifying Area and Perimeter: A Practitioner’s Guide to Strategies That Work. Intervention in School and Clinic, 58(4), 241-248. https://doi.org/10.1177/10534512221093780

Estos dos conceptos me han sorprendido en algunas aulas, desde la perspectiva de las unidades de medida en distintas ocasiones, cuando algunos estudiantes intentaban pasar de unas unidades de longitud a otras de superficie sin plantearse nada más allá de un cálculo, podríamos decir imposible, quizá influidos por haber sido "tratados" con las "escaleras" como recurso didáctico. Y es que "muchos estudiantes carecen de una comprensión suficiente del área y el perímetro, lo que resulta en el desarrollo de conceptos erróneos que con el tiempo impactan negativamente en su rendimiento en matemáticas".

La estrategia 1 es el uso de recursos manipulativos, buscando que el aprendiz relacione el concepto con la representación. "Los manipulativos se utilizan en

el aula de matemáticas para representar una idea o un proceso de forma concreta y

pueden tener beneficios para el aprendizaje de los estudiantes (Bouck & Park, 2018)". El orden de trabajo en este caso es importante, y me parece adecuado "los estudiantes primero aprenden un concepto matemático con manipulativos concretos, luego aprenden a dibujar una representación bidimensional y, finalmente, resuelven usando solo números y símbolos abstractos".
Uno de los materiales que puede ayudarnos en el aula es el Geoplano, donde iniciaríamos definiendo la unidad de longitud como la distancia entre dos clavijas. El perímetro lo expresaríamos "como la longitud alrededor de una forma", tras lo que facilitaríamos una cantidad y pediríamos a los estudiantes que representasen como perímetro. "Un error común que cometen los estudiantes (...) es contar las clavijas en lugar de los espacios", algo que puede solventarse con una mediación adecuada del docente desde la observación de la forma construida. 

Podemos combinar los recursos manipulativos físicos con los virtuales, pensemos por ejemplo en https://toytheater.com/geoboard/

Dada que la descrita en el artículo tiene algún aspecto que creo es demasiado procedimental, me atrevo a proponer una secuencia a partir de la construcción de un rectángulo.

Ante el rectángulo podríamos contar cuántos pedazos de goma (segmentos) tenemos en cada uno de los lados, u observar primero la figura plana que tenemos observando sus propiedades, sus lados iguales dos a dos, o la cantidad de pequeños cuadrados que pueden "ocupar" su interior. También resultaría distintos, pensemos aquí trabajar con este material únicamente, el geoplano y sus gomas, o trabajar con pequeños cuadrados que nos llevarían a visualizar la figura plana de manera distinta, una desde la longitud exterior y otra desde el área interior.

"Las cuadrículas son excelentes herramientas para enseñar medidas geométricas porque las unidades se delinean antes de colocar formas sobre ellas y, por lo tanto, actúan como “reglas de área” (Van de Walle et al., 2019)", así podríamos pensar utilizar el geoplano y servirnos de apoyo con pequeños cuadrados que colocar en el interior, que nos facilitarán el conteo y nos permitirán expresar el resultado en forma de "unidades cuadradas". Deducir desde esta observación cómo calcular perímetro y área, tras ver el significado diferencial de ambas puede ser un inicio a la posterior generalización de la fórmula.

La segunda estrategia es centrarse en la variable. "Por ejemplo, cuando se les presentan dos formas que tienen perímetros congruentes y áreas incongruentes, los estudiantes pueden responder que los perímetros de las formas son incongruentes porque la distracción visual de las áreas incongruentes interfiere con el razonamiento de los estudiantes. Sin embargo, llamar la atención sobre la variable de interés reduce el efecto de la interferencia de variables irrelevantes en el pensamiento de los estudiantes (Babai et al., 2016)". La variable de interés en este caso es el perímetro.

El juego aquí podría ser pedir a los estudiantes dibujar formas con el mismo perímetro que den lugar a distintas áreas, por ejemplo utilizando algo tan sencillo como una hoja de papel cuadriculado. Esta situación "puede utilizarse en el aula para disipar la idea errónea de que los perímetros incongruentes siempre deben tener áreas incongruentes y viceversa".

El ejemplo que se sugiere parte de mediar para que el aprendiz pueda discernir y centrarse en la variable. "Primero, comience creando un rectángulo de dos unidades por cuatro unidades con unidades cuadradas individuales hechas de cartulina (es decir, dos cuadrados en cada una de las cuatro filas formarían un rectángulo de 2 × 4 dimensiones). Modele cómo calcular el área contando las unidades cuadradas dentro de la forma". 

El siguiente paso buscaría rodear la forma con pequeños trozos de algún material recto, pajitas, trozos de varillas de madera, de la misma longitud (lado de los cuadrados interiores), y que nos facilitasen el conteo de las mismas una vez rodeada la forma. Contemos cuántas tenemos entonces. Primera pareja, una forma: un área y un perímetro. Tomando de nuevo las unidades cuadradas que teníamos (8), formaríamos una forma distinta. En esta situación con el mismo área, al colocar las pequeñas unidades de longitud sobre el borde, es bastante probable que no tengamos suficientes. ¿Por qué?

La tercera estrategia busca la fragmentación visual. Para entender a qué nos estamos refiriendo vamos a ver una imagen:

"Un problema de área se representa de dos maneras diferentes: (a) usando la representación estándar y (b) usando VCR. Observe la comparación entre el formato estándar y el VCR. La

representación estándar proporciona a los estudiantes lo siguiente: (a) la forma de la figura, que debería indicarles qué fórmula utilizar; (b) longitud de un lado; y (c) un ancho. Sin embargo, no indica explícitamente que longitudes y anchos opuestos sean equivalentes, lo cual es un

conocimiento previo necesario para resolver el problema. Utilizando la representación estándar, los estudiantes deben retener al menos cinco datos: (a) el tipo de forma, (b) los atributos de la forma, (c) la longitud dada, (d) el ancho dado y (e) los datos relevantes. conocimiento para

determinar la fórmula adecuada a utilizar. Por el contrario, el VCR utiliza fragmentos visuales para indicar a los estudiantes las características visuales importantes dentro de la representación. El acto de fragmentar hace que sea visualmente evidente para los estudiantes que hay tres

grupos de seis unidades dentro del rectángulo al sombrear y dividir el rectángulo en unidades cuadradas individuales. Además, el largo y el ancho están etiquetados con números y unidades correspondientes, junto con una marca en los lados claramente marcada".

Y por último, la cuarta estrategia, la instrucción contextualizada. "Los docentes pueden brindar oportunidades para una instrucción contextualizada en una multitud de formas creativas que aumentan la motivación para completar las tareas y conducen a un mayor mantenimiento y generalización de las habilidades con el tiempo (Collins et al., 2011; Van de Walle et al., 2019). Se puede utilizar de manera efectiva a lo largo de la progresión de la lección y en todos los niveles de grado". Es decir podemos dar un contexto problema que nos conduzca a una práctica donde es necesario interpretar una situación, modelizarla y realizar las correspondientes observaciones y cálculos a partir de ellas. Haciendo que el docente facilite ya inicialmente una representación icónica de la figura o no.

¿Qué opinión tienes de estas estrategias? ¿Puedes aportar otras?

Poesía y matemáticas en Educación Infantil

Mi entrada de hoy he de agradecérsela a Purificación Rodríguez, estudiante del curso de Formación Permanente de UNED "Los Algoritmos o cómo Enseñar a Hacer las Operaciones Fundamentales en Matemáticas", que aprovecho para indicar que este será el último año que lo ofrezcamos, dado que vamos a sustituir por otro más actualizado y rico en actividades con el título "La resolución de problemas como contexto de aprendizaje para las operaciones fundamentales" del que os contaré algunas cosillas más adelante.

Bueno, pues regreso a donde estaba, y a la actividad que Purificación propuso en una de las actividades a partir de un poema de Gloria Fuertes "En el árbol de mi pecho":

En el árbol de mi pecho

hay un pájaro encarnado.

Cuando te veo se asusta,

aletea, lanza saltos.

En el árbol de mi pecho

hay un pájaro encarnado.

Cuando te veo se asusta,

¡eres un espantapájaros!

La propuesta parte de un árbol de Gloria Fuertes no con uno, sino con 7 pájaros encarnados, que cuando ven el espantapájaros se asustan y 4 pájaros se van volando. ¿Queda algún pájaro en

el árbol de Gloria? ¿Cuántos pájaros se quedan en el árbol?

Se trata de un problema de concepción unitaria, en el que hay un único conjunto que sufre una transformación. Hay una cantidad inicial que cambia al quitarle una "cantidad de cambio". Es un problema de cambio decreciente con cantidad final desconocida. 

Analicemos la representación realizada:

Esta representación tendría tiempos, y no podemos verla de un modo estático como la imagen, sino que tendríamos tres momentos en la representación:

1. El árbol con los 7 pájaros

2. Donde vamos quitando uno a uno que se van volando hasta completar 4

3. Observando el árbol tal como queda para contar los pájaros que no se asustaron

Hacer a los niños partícipes de la construcción de la representación, y plantear la operación a partir de la sucesión de hechos nos facilita observar si han comprendido o no el sentido del cambio en el problema.

Recomiendo leer el artículo completo de Aguilar et al. (2003), donde dice:

Las consideraciones anteriores ponen en evidencia que hasta los problemas aritméticos de suma y resta necesitan diversos esquemas que ayuden a formarse una representación adecuada para su resolución. Los niños y niñas necesitan conocimiento estratégico para elegir los esquemas adecuados a los distintos tipos de problemas que mejoren la representación de los mismos. La investigación en resolución de problemas aritméticos proporciona pruebas razonables de que poseer estrategias que se basen en un conocimiento conceptual del tipo de esquema mejora la solución (Baroody y Hume, 1991; Cawley y Parmar, 1992; Wooward y Montague, 2000; Jitendra, Dipipi y Perron-Jones, 2002) (p. 389).

* Gracias Purificación por permitirme utilizar tu actividad, como ejemplo en este blog. ¡Seguimos aprendiendo juntos! 

Referencias:
Aguilar, M., Navarro, J. I., & Alcalde, C. (2003). El uso de esquemas figurativos para ayudar a resolver problemas aritméticos. Cultura y Educación, 15(4), 385-397. https://journals.sagepub.com/doi/pdf/10.1174/113564003322712956

Los números en las ilustraciones de los cuentos (2)

Hoy voy con una entrada pequeñita centrada en un álbum ilustrado, que no he encontrado en castellano, pero que me parece tan maravilloso que no quiero perder la oportunidad de hablaros de él.

Nuestro álbum de hoy se centra en los nombres colectivos, es decir, un par de zapatos son dos, o una docena de huevos son doce, por poner algunos ejemplos. ¡Qué mejor forma que acercar a los niños a estos nombres colectivos desde la historia y las ilustraciones de un álbum!

More Than One by Miriam Schlein

Conteo simple... un camino hacia los "hechos numéricos"

Estos días estoy aprovechando para leer un poco, las vacaciones nos facilitan esa pausa que todo docente deberíamos tener más a menudo.

Por casualidad llegué a un artículo, que no por sencillo es menos importante, que me ha llevado a la reflexión sobre la aproximación que hacemos a las operaciones aditivas en la escuela infantil desde el conteo. Me voy a permitir traducir algunos párrafos de este artículo, que podéis encontrar en la red (en inglés).

Thornton, C. A. (1989). Look Ahead" Activities Spark Success in Addition and Subtraction Number-Fact Learning. The Arithmetic Teacher, 36(8), 8-11.

"Contar es el enfoque natural de un niño para el trabajo numérico en el jardín de infantes y el primer grado y es la base para encontrar soluciones en sumas y restas, tanto dentro como fuera de contextos de resolución de problemas" (p. 8).

El programa que presenta la autora, parte de contar, pero no iniciando desde el "1" sino facilitando experiencias que inicien "con cualquier número, del 3 al 9, y contamos con dos o tres más" (p. 9). Una caja de fichas (o similar), un puñado de ellas que se colocan en la tapa de la caja y el niño/a las cuenta (5) y vamos incorporando nuevas fichas a partir de este conteo previo.

Pero tan importante es el conteo hacia delante como el conteo hacia atrás, hemos de brindar a los niños/as oportunidades para practicarlo tanto en la escuela como en casa, por ejemplo a través de separar, utilizando policubos (unifix): "Por turnos, los niños hacen un tren de cubos Unifix (por ejemplo, un tren "9") y cuentan hacia atrás a medida que, uno por uno, van separando los cubos del tren. Se hace especial hincapié en los números del 5 al 12 en interrumpir y contar hacia atrás de dos o tres" (p. 10).

No es habitual que en la escuela se practique el conteo con patrones auditivos (sonoros), sin embargo consideramos que es de enorme utilidad, por ejemplo "durante el juego libre, ya sea en el interior o al aire libre. "Cierra los ojos mientras hago rebotar la pelota. ¿Cuántos rebotes escuchas?" O bien, la actividad podría introducirse durante un período musical al ritmo de un tambor o pandereta (p.10), estas actividades repetidas facilitan además la incorporación de movimientos corporales, que en esta etapa resultará fundamental para incorporar a la secuencia de aprendizaje.

Utilizar el trabajo de representación con rejillas de la decena, puede dar lugar a un trabajo rico, que no siempre tiene que partir de la rejilla estándar, "la rejilla de 10 podría presentarse como un dibujo de un edificio de apartamentos o una nave espacial, con estrellas para indicar habitaciones o asientos que están ocupados. Luego se haría una modificación en la línea de preguntas para pedir a los niños que digan el número de habitaciones o asientos que están ocupados o el número que podría ocuparse" (p. 11). 

"Se anima a los maestros a enfatizar cuatro extensiones del conteo simple en el jardín de infantes y en el trabajo con números de primer grado: contar hacia adelante, contar hacia atrás, patrones auditivos para conteos de dos y tres, y patrones visuales basados en la rejilla de 10. Estas cuatro habilidades para contar son prerrequisitos ocultos para tener éxito en el aprendizaje de operaciones numéricas en sumas y restas" (Thornton, 1989, p. 11).

Aplicación rejillas (digital): https://mathsbot.com/manipulatives/tenFrame

La dimensión emocional en matemáticas (1)

Mi entrada de hoy parte de leer el proyecto de tesis de Jorge, y es que al hablar de aprendizaje matemático resulta imposible separar la dimensión emocional de los resultados de rendimiento. En los últimos años, ya desde Polya (1945), la investigación didáctica ha focalizado en los distintos aspectos que se ponen en escena en este binomio de lo emocional de las matemáticas.

Esta relación ha sido definida desde distintos focos, quizá un autor relevante por lo que ha supuesto en la investigación posterior ha sido Schoenfeld (1983), que desde la resolución de problemas recoge la importancia de las creencias para la toma de decisiones del estudiante.

Me posiciono ante estos aspectos contraria a la defensa en algunos trabajos de las denominadas "inteligencias" matemática o emocional, y es creo que estos planteamientos sesgan la propia concepción de la didáctica en la escuela.

Desde la perspectiva del estudiante, inicio mi relato por un estudio longitudinal, por la cantidad de información de proceso que se recoge, donde Hidalgo Alonso et al. (2005) recogen seis ejes fundamentales: atribuciones de causalidad, gusto por las matemáticas, autoconcepto matemático, actitudes y creencias matemáticas, creencias sobre el profesor y creencias del entorno familiar. Muestran "la idea de mutua dependencia entre factores cognitivos y factores emocionales", planteando recomendaciones para la formación de los docentes de matemáticas, que tengan en cuenta "temas relacionados con la inteligencia emocional, tales como el autoconcepto del alumno aprendiz de matemáticas, los determinantes afectivos del rendimiento escolar, la influencia de la historia personal y de los miedos del alumno(tratamiento de la diversidad emocional) o los más generales relacionados con la influencia de las actitudes en el aprendizaje de las matemáticas". Plantean también la necesidad de "incorporar de manera sistemática en las programaciones escolares objetivos encaminados a una alfabetización emocional matemática". 

Son distintos los aspectos que pueden influir en estas emociones, y uno de ellos que parece evidente su influencia es la concepción y el uso del error. Así algunos resultados recogen "que la calificación del alumno disminuirá conforme la intensidad de sus creencias de que naturalmente no es bueno para las matemáticas, y que las mismas no le entran por la comisión de errores y acorde a su conducta de falta de interés por corregirlos" (Eccius-Wellmann & Ibarra-González, 2020). Y es que dependiendo la forma del uso del error en el aula, el estudiante tendrá la confianza o no para intentar aprender del error cometido.

Nos fijamos también en este punto en situaciones de aprendizaje que faciliten la autoregulación y ees que, "mediante el aprendizaje autorregulado los estudiantes activan y conservan afectos y comportamientos junto con las cogniciones correspondientes" (Martínez Vicente & Valiente Barroso, 2019).

Pero no nos fijemos únicamente en lo que puede dar lugar a emociones negativas, sino también a las situaciones que ayudan a disfrutar, como "uno de los aspectos que favorece el aprendizaje es la generación de emociones positivas y hemos percibido cómo estas surgen al crear un problema –sobre todo en contextos lúdicos –y más aún cuando este es valorado por otras personas; en particular, por el profesor o la profesora o por los/as compañeros/as de clase" (Malaspina, 2021).

En cuanto a la perspectiva docente, el trabajo de García-González y Martínez-Padrón (2020), defiende que hay "dos razones por las que se desencadenan las emociones negativas de los docentes que enseñan matemática: (a) las experiencias emocionales experimentadas cuando eran estudiantes: generalmente, quienes tuvieron experiencias negativas con las matemáticas las siguen experimentando cuando se convierten en profesores, conservando la creencia de que las matemáticas son difíciles (...); y (b) el conocimiento de la asignatura: muchos de los docentes que tienen la responsabilidad de enseñar matemáticas no siempre son especialistas en los contenidos que les marca el currículo escolar".

Son distintos los estudios con futuros maestros que muestran la importancia de estas emociones en relación a las matemáticas. Me quedo ahora para que podáis echar un ojo a los instrumentos con el trabajo de Marbán et al. (2020) que establece "la necesidad de establecer programas de intervención afectivo-matemáticos específicos que acompañen los procesos de formación didáctica de los estudiantes para maestro"

Referencias:

Eccius-Wellmann, C., & Ibarra-González, K. P. (2020). Dependencia de la calificación de una evaluación diagnóstica en matemáticas con aspectos afectivos por la comisión de errores. Bolema: Boletim de Educação Matemática, 34, 544-563. https://doi.org/10.1590/1980-4415v34n67a10

García-González, M. S., & Martínez-Padrón, O. J. (2020). Conocimiento emocional de profesores de matemáticas. Educación matemática, 32(1), 157-177. https://doi.org/10.24844/em3201.07

Hidalgo Alonso, S., Maroto Sáez, A., & Palacios Picos, A.  (2005). El perfil emocional matemático como predictor de rechazo escolar: relación con las destrezas y los conocimientos desde una perspectiva evolutiva. Educación Matemática, 17(2), 89-116. https://www.redalyc.org/pdf/405/40517205.pdf 

Malaspina, U.(2021). Creación de problemas y de juegos para el aprendizaje de las matemáticas. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 10(1), 1-17. https://revistas.uva.es/index.php/edmain/article/view/5934/4455

Marbán, J. M., Palacios, A., & Maroto, A. (2020). Desarrollo del domino afectivo matemático en la formación inicial de maestros de primaria. Avances De Investigación En Educación Matemática, (18), 73–86. https://doi.org/10.35763/aiem.v0i18.286

Martínez Vicente, M., & Valiente Barroso, C. (2019). Autorregulación afectivo- motivacional, resolución de problemas y rendimiento matemático en Educación Primaria. Educatio Siglo XXI, 37(3 Nov- Feb), 33–54. https://doi.org/10.6018/educatio.399151

Schoenfeld, A. (1983). Episodes and executive decisions in mathematical problem-solving skills. En R. Lesh y M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematical concepts and processes (pp. 345-395). Academic Press.

Los números en las ilustraciones de los cuentos (1)

Las situaciones de conteo para el niño son habituales y posiblemente más tempranas de lo que cabe pensar (Spelke y Kinzler, 2007).

Pero quizá antes de hablar de conteo, deberíamos haberlo hecho con un constructo más general como es el "sentido numérico", siguiendo las teorías que Piaget nos expuso:

La primera vez que aparece en la literatura científica el término sentido numérico es de la mano de Tobías Dantzig (1954), haciendo referencia a una habilidad que posee la persona a través de la cual puede reconocer cambios en pequeñas colecciones de elementos, incluso sin poseer conocimientos relacionados con el conteo o la secuencia verbal. Desde entonces, pero sobre todo a partir de los años ochenta, encontramos numerosos autores que tratan de delimitar el concepto o constructo de sentido numérico (Adamuz-Povedano y Bracho-López, 2019) (Adamuz-Povedano et al., 2022, p.41).

Así, son diversas las situaciones en la cotidianeidad del niño, tanto en la escuela como fuera de ella, en que el sentido numérico se desarrolla, y una de ellas en la que hoy me voy a fijar es la visualización de las ilustraciones de los cuentos, como representación de ideas matemáticas.

Y es que siguiendo a Alsina (2022) hay tres claves en la adquisición del sentido numérico en la etapa de infantil: la comprensión de los números, la representación de los números y el cálculo aritmético. Vamos pues a fijarnos en esta breve entrada en la representación, pero intentando dar un elemento de reflexión para los maestros, de manera que puedan relacionarlo con el diseño de actividades que faciliten la comprensión del número.

Iniciamos nuestro recorrido con la Figura 1, donde podemos ver siete estrellas dispuestas en una hilera a distintos niveles; esta situación puede facilitar el conteo desde la ilustración, pero ¿por qué no dar a los niños un puñado de estrellas para que las disponga sobre una mesa de la misma manera? (hemos de darle una cantidad superior a 7). Podemos observar cómo el niño las coloca para ayudarle a contar, o quizá desde su colocación podemos intervenir para modificar esta situación, por ejemplo, colocarlas en posición de cuadrícula (rejilla), o quizá en círculo; la estrategia de conteo se modificará dependiendo de estas representaciones, posiblemente.

Figura 1

Contando siete estrellas

Nota. Mora (1996, p.29).

En la Figura 2, podemos ver dos conjuntos: las rocas y los agujeros, y al asignar una roca a cada agujero, podemos ver que una de ellas (roca) queda sin su correspondiente agujero. Por lo tanto, la reflexión parte de dos situaciones:

- Rocas que se van colocando una a una sobre los agujeros, nos centramos en esa asignación individual (enumeración).

- Dos conjuntos, rocas y agujeros, que se van emparejando (correspondencia uno-uno) y que nos permite al terminar valorar si ambos conjuntos tienen o no la misma cantidad de elementos.

Figura 2

Tres rocas, dos agujeros

Nota. Ruzzier (1996, pp.18-19)

En la Figura 3, vemos un cuento donde los números van apareciendo y al llegar al 5, desapareciendo. Un uso del ordinal según los distintos animales van subiendo al autobús camino del colegio, que además se acompaña de manera correcta en el texto del cuento, eso sí, en "el movimiento" es decir, el animalillo que se incorpora, y no se ve a la vez por ejemplo, la palabra "cuarta" y el símbolo del número cuatro.

Figura 3

Utilizando el ordinal

Nota. Ferri (2020, p. 7-8).

En la Figura 4, el texto que acompaña a la ilustración se centra en el movimiento también, pero esta vez sí que podemos percibir a la vez texto y acción, no tenemos símbolo. En este caso, la página posterior a la que vemos (acción) se centra en la posición de nuestro protagonista con la nariz rota.

Figura 4

Entra uno

Nota. Jandl (1997, pp. 4-5).

En el caso de este cuento, donde vemos dos focos situados en el personaje que entra y en la situación de nuestro protagonista, hemos observado cómo los niños participando en la historia aprenden mejor el manejo del ordinal. Por ejemplo, podemos construir un escenario con sus sillitas y pedir a los niños/as que tomen los roles de los personajes, cambiando su posición sobre las sillas de manera que la silla colocada al principio de la hilera siempre mantenga la posición "primero", y así sucesivamente.

En la Figura 5, vemos texto e ilustración que casi parece actúan de manera independiente. El símbolo numérico que acompaña al texto, nos indica la ordenación de personajes que se suceden página tras página, en la primera parte del libro hacia adelante, y en la segunda parte, en sentido inverso. Pero la ilustración nos facilita descubrir qué conjuntos de los que aparecen tienen el número de objetos asociados al símbolo de la página.

Figura 5

Contando 5 y 6 objetos

Nota. Bruno y Cabassa (2018, pp. 26-27).

En la Figura 6, vemos una imagen con mayor cantidad de texto, y una interpretación de los números que apoya el aprendizaje de determinadas palabras, como "pareja" o "suma".

Figura 6

Nombrando al 2

Nota. López Moya (2020, pp. 9-10).

Ampliemos el trabajo verbal, ¿una pareja son dos objetos iguales? ¿Identificamos parejas en la ilustración?

Esta primera entrada en relación a los números y las ilustraciones finaliza aquí... pero habrá segunda parte, y quizá tercera. Hoy creo que ya os dejo unos cuantos ejemplos para que incluyáis en vuestra carta a los Reyes Magos, ¿te animas?

Referencias bibliográficas:

• Adamuz-Povedano, N., Fernández-Ahumada, E., Martínez-Jiménez, E., & Torralbo, M. (2022). Instrumentos para la evaluación del sentido numérico en los primeros años de aprendizaje matemático. En J.A. Fernández-Plaza, J.L.Lupiáñez, A.Moreno, y R.Ramírez (Eds.), Investigación en Educación Matemática. Homenaje a los profesores Pablo Flores e Isidoro Segovia (pp. 39-56). Octaedro.
• Alsina, Á. (2022). Itinerarios didácticos para la enseñanza de las matemáticas (3-6 años). Graó.
• Bruno, P., & Cabassa, M. (2018). Libro de contar. OQO.
• Ferri, G. (2020). ¡Todos al bus! Editorial La Coccinella.
• Jandl, E. (1997). Ser quinto. Loguez Ediciones.
• López Moya, J. (2020). Mi infinito. FUN readers.
• Mora, P. (1996). Uno, Dos, Tres. Clarion Books.
• Ruzzier, S. (2015). Two mice. Clarion Books.
• Spelke, E. S., & Kinzler, K. D. (2007). Core knowledge. Developmental science, 10(1), 89-96. https://doi.org/10.1111/j.1467-7687.2007.00569.x

Recursos para ampliar información de los libros utilizados:

https://earlymath.erikson.edu/es/tres-libros-donde-los-numeros-pequenos-importan-las-palabras-imprimibles-descargas/

Uno, Dos, Tres: One Two Three

https://www.patmora.com/books/uno-dos-tres/

Two Mice

Tiene versión en castellano, "Dos ratones". Editorial A Buen Paso (2017).

Clasificando con Luna (20 meses)

Tener niños/as en casa supone una observación constante de sus acciones, y por tanto, la necesaria reflexión del adulto sobre por qué actúan de una u otra manera, y siempre partiendo de que cada niño/a es distinto, y lo que hoy Luna hace con sus juguetes no lo hará de la misma manera cualquiera de sus compañeros/as de la escuela infantil, y quizá ni siquiera ella misma.

Observamos a continuación dos situaciones, en la misma mañana, aparentemente iguales, pero Luna actúa de manera distinta, ¿por qué?

Partimos de que estamos iniciando la clasificación, con un material de plástico (conejitos) exactamente iguales de tamaño y forma, pero distintos en color (Figura 1). Es un material sencillo para agarrar y hacer construcciones.

Figura 1

Construcciones Buni (Dolmen)

La tarea de la clasificación en el niño debe tener distintas situaciones, que se acompasan desde materiales más sencillos como este que den lugar a clasificaciones dependiendo uno o varios atributos.

En este caso, el único atributo diferencial es el color. Pero imaginemos que estos conejitos son de dos tamaños, podríamos dar lugar a dos tipos de clasificaciones por color y por tamaño, e incluso dentro de cada opción a una doble clasificación.

Por ejemplo, Luna podría separar los grandes a un lado y los pequeños a otro, y una vez en cada uno de los grupos, hacer otra clasificación por color, o al contrario, primero por color y luego por tamaño. Pero partamos de que Luna inicia sus tareas con la clasificación, y que un material más complejo podría suponer un distractor añadido.

Lo importante, es que los primeros contactos con el material sean libres, dejándole experimentar, montar, desmontar, observar, ... sin mediación alguna del adulto. Será ella quien internamente, buscará relaciones o quizá no.

La tarea de clasificar “implica la aplicación o descubrimiento de una regularidad, clasificatoria” (Ruesga, Giménez y Orozco, 2005, p. 130), que dadas las características de la etapa se suele poner en escena a través del juego. Esta tarea de clasificar permanece desde niños hasta adultos, dado que mantener una organización en las cosas o situaciones nos facilita su comprensión. El maestro como adulto “manifiesta frecuentemente sus habilidades clasificatorias en circunstancias diversas, sea ordenando simplemente el material disperso ubicado en su mesa” (Bermejo, 1985, p. 211). Además, debe considerar la habilidad de clasificar inherente al quehacer matemático, considerándolo en diversas actividades de aula, dado que la clasificación requiere que el niño construya o acepte reglas que el maestro define para la acción. La selección de materiales debe ser reflexiva tanto para el maestro como para los alumnos, “más que la forma de los materiales y las tareas, es importante que tengan significado” (Clements y Sarama, 2009, p. 329)*.

 Veamos qué sucede cuando Luna (que ya distingue los colores) tiene una instrucción que es recoger los conejitos blancos, y solo tiene una bandeja para guardarlos (Vídeo 1).

Vídeo 1

Clasificación con conejitos

En este caso Luna lo hace fenomenal, sigue las instrucciones que se le dan, tranquila, concentrada en lo que está haciendo, no mostrando sorpresa ante instrucciones más numéricas o incluso demasiado guiadas como señalar dónde están algunas de las piezas. Es importante que en este tipo de tareas, el adulto respete el tiempo, le indique consignas como "¿Ya has terminado?", "¿Queda alguno más?", o "Vamos a poner todos los demás en un montón para jugar con ellos". De esta manera, llevaríamos a Luna a una situación en relación con el material que le facilita la autocomprobación de la tarea, forzando la interacción con el material restante.

Pero veamos de manera reflexiva el final del vídeo, todos los conejitos blancos están guardados y el adulto le solicita ahora los amarillos ¿Qué sucede? Pues que necesitaríamos otra bandeja, la niña tiene claro que ha seguido la instrucción inicial, "guardar los conejitos blancos".

Vamos con el siguiente vídeo, ahora la instrucción inicial no es guardar los ositos blancos, sino guardar los juguetes. Si nos fijamos, la muñeca está ya dentro de la caja, y la instrucción es que los vamos a guardar en orden, la secuencia temporal viene determinada por los colores (Vídeo 2).

Vídeo 2

Luna clasifica desde una perspectiva de guardar

Buena actitud en el guardado del material, pero... tenemos un distractor, ¿nos hemos fijado? La televisión está puesta, y Luna "se cansa" antes de terminar, ¿nos sentamos mejor a ver la televisión?

Este tipo de situaciones cotidianas en casa, desde el guardado del material, a la construcción con las piezas, pueden ser momentos relajados donde Luna practique algunos contenidos lógicos, y de paso dé lugar a reflexiones del adulto.

*Cita procedente de: Pizarro Contreras, N., & Arteaga Martínez, B. (2019, Mayo). La clasificación en Educación Infantil: cómo diseñan actividades los maestros en formación. In XV Conferencia Interamericana de Educación Matemática, CIAEM. Medellín, Colombia.

Sistema de ecuaciones y la necesidad del saber por qué

 Con este título me quiero acercar a los tres métodos que contamos a los chavales para resolver los sistemas de ecuaciones, con dos ecuaciones y dos incógnitas. Esto es debido a que esta semana en una conversación escuché que era necesario pedir a los estudiantes, sustitución, reducción y eliminación, para asegurarnos que saben resolver.

He de confesar que estas cosas me preocupan, qué estamos intentando que el chaval sepa lo que significa, o que interactúe con números y letras para hacer prácticas con las operaciones. Voy a ilustrar mis palabras con un ejemplo, para dar lugar a la reflexión de las personas que enseñan.

g+r=4

2g+r=5

Voy a utilizar las regletas para ilustrar su significado, la g será la verde (green) y la r la roja (red).

La representación de ambas ecuaciones es entonces:

Si nos fijamos la roja y la verde son cuatro unidades, como señala la primera de las ecuaciones. Esto podremos ponerlo en la segunda ecuación, es decir:

Si entendemos la ecuación con un equilibrio entre los dos términos podremos ir eliminando baldosas en ambos lados:

Nuestra regleta verde tiene un valor de 1, cuidado, no es uno, sino que tiene un valor de una unidad.

Podemos regresar por ejemplo a la primera de las ecuaciones:

Volvemos al concepto de equilibrio entre ambos términos, para darnos cuenta que nuestra regleta roja tiene un valor de 3 unidades.

¿He aprendido a resolver sistemas de ecuaciones? o ¿el significado de resolver ecuaciones?

No, he resuelto un sistema, más o menos elegido (por el docente) con unas características particulares, para que como suelen decir los chavales "te salga bien", y es que estas situaciones siempre me recuerdan a cuando me decían cosas del tipo "profe, es que como no te da un número normal pensaba que lo había hecho mal", cuando querían referirse a que el resultado no era un número entero.

Vayamos atrás, a tener solo una ecuación, es ahí donde deberíamos entender su significado, donde tenemos que asegurarnos que el estudiante sabe con qué está jugando. Por ejemplo, entendiendo el significado del signo igual como equilibrio en una igualdad de dos términos. Si ese momento no trabajamos para que la comprensión sea adecuada, después resolverán, por un método o por los tres, incluso lo colocarán como matrices y resolverán con cosas como el cálculo de la inversa, que como todo es mecánico suele gustarles mucho, pero... seguirán jugando con números o formas de representación, pero seguirán sin saber qué es una ecuación con dos variables, o a qué representa mejor.

Vayamos a la primera de las ecuaciones:

g+r=4

g y r son dos números que siempre suman 4. Esto lo hacemos mucho en edades tempranas, bajo la consigna de busca los amigos del cuatro:

1 y 3

3 y 1

2 y 2

0 y 4

4 y 0

Estas son las parejas candidatas si pensamos en números naturales, ¿las representamos?

Podemos unirlos y comprar que cualquiera de las parejas de puntos sobre esa línea cumple las condiciones de nuestra ecuación.

Y si colocamos la otra ecuación ¿qué es lo que sucederá?

Sabemos entonces lo que es ese par de ecuaciones, dos rectas que se encuentran en un punto, que es la solución del sistema. 

Hemos encontrado un significado desde el conocimiento de las matemáticas, pero volvemos a la pregunta, nuestro estudiante sabrá realmente el significado de una ecuación, un sistema de ecuaciones y una solución. Pues creo que aún no, vamos a darle un contexto, que he de decir que no siempre se encuentran enunciados verbales apropiados o que al menos no suenen a "voy a inventarme cualquier cosa que se explique con una ecuación", tenemos ejemplos variados, de padres e hijos que combinan edades linealmente, números de dos cifras que sirven como números que combinar para la ecuación, o vamos a las facturas de electricidad por ejemplo:

La factura de electricidad de la tienda de mi madre tiene dos partes, una cuota fija y otra que depende del consumo. Este mes mi madre ha pagado 400 euros, mientras que el pasado septiembre, que gastó el doble de electricidad, porque hacía frío y tuvo que poner la calefacción, pagó 500 euros. ¿Cuánto paga mi madre en las facturas aunque no gaste nada? ¿Cuánto pagó mi madre de consumo en el mes de septiembre?

Nuestras ecuaciones en este caso serán:

r= cuota fija

g= consumo en septiembre

g+r=400

2g+r=500

El valor para nuestras regletas será entonces:

g= 100

r= 300

La factura no parece muy justa, porque se paga muchísimo de cuota fija, ¿no os parece? Si mi madre cierra la tienda y no gasta, pagará un mínimo muy elevado.

Pero además ahora el contexto me permitirá interpretar la solución al sistema, dejando de ser un número sin más, y además me da cierta proyección de futuro, cuando añadamos datos como el número de horas que mi madre tuvo gasto eléctrico en septiembre, y que me permitirán mayor juego con ambas ecuaciones. O nuestros estudiantes a partir de sus propias facturas podrán realizar cálculos, o formular ecuaciones a partir de la factura de un mes cualquiera.

Parece que he ido al revés, empecé con un sistema, lo representé, lo volví a representar de otra forma, lo resolví, y para terminar planteé un problema y lo volví a resolver. Que evitamos de esta manera, creo:

1. Que los estudiantes desde el enunciado verbal coloquen las incógnitas (que como vemos no tienen que llamarse x e y) en el orden en que las encuentran.

2. De esta manera si el estudiante no interpreta el enunciado verbal de manera correcta al traducirlo al lenguaje algebraico, podemos discernir si el error es la resolución (procedimientos) o la comprensión del enunciado.

3. Que es más sencillo interpretar el signo igual como equilibrio entre dos términos, al haber utilizado las representaciones (varias) de manera previa al contexto.

* ¿Qué hemos utilizado para las representaciones gráficas?

https://mathsbot.com/manipulatives/rods

https://www.geogebra.org/

Las tablas de multiplicar como obstáculo

Cada vez que me preguntan en un colegio por cómo enseñar las tablas de multiplicar, vuelvo a tener la misma sensación, esa que un día viví como mamá cuando Carmen y Juan tuvieron que memorizar aquellas tablas tras colorearlas, cuando ellos ya sabían multiplicar, o mejor sabían lo que era multiplicar, y eso no era memorizar aquellas tablas.

Y aquella sensación no fue agradable entonces, y aún menos lo es ahora.

En ocasiones previas en el blog ya he escrito sobre la multiplicación, es sencillo localizar las entradas desde el listado de palabras clave que encontrarás en el margen derecho, pero... ¿por qué acudo de nuevo a este tema? Pues precisamente por eso, porque me siguen preguntando por las tablas, parece que poco ha cambiado de manera general en los últimos años (Figura 1), y por la importancia que supone para el futuro el aprendizaje de la multiplicación.

Figura 1

Tablas de multiplicar

Nota. Hilprecht (1906 , citado en Bernard et al., 2014, p.32).

Partimos de que la multiplicación conviene introducirla como suma reiterada. Desde objetos cotidianos, con una buena representación, alternando el material manipulativo con el "dibujo" de la situación, hecho por los niños/as o la maestra/o, podemos hacer ver las distintas formas que tenemos de representar situaciones. Desde contextos reales, cercanos al niño, y que le resulte sencillo de dibujar o representar.

Insisto, aún a riesgo de ser pesada, en el asunto de la representación. Esta representación además es fundamental que cuestione el significado de conjuntos iguales que se repiten, o que no son iguales (Figura 2).

Figura 2

Representaciones para iniciar la multiplicación

Nota. https://www.ncetm.org.uk/classroom-resources/cp-year-2-unit-5-introduction-to-multiplication/

El lenguaje que acompañe estas primeras representaciones, al igual que la solicitud de acción al niño resultarán fundamentales para que dé sentido a lo que está haciendo antes de pasar a utilizar símbolos numéricos.

Las consignas para dar lugar a su acción pueden ser del tipo:

- Tenemos X objetos, ¿puedo hacer grupos iguales? 

- ¿Son los conjuntos de la imagen iguales?

- ¿Cuántos objetos hay en total? 

- ¿Cuántos grupos de objetos hay en total? ¿Cuántos objetos en cada grupo? (...)

Poco a poco podremos pasar a expresiones, dando lugar a que el niño relate el porqué de su respuesta a la pregunta:

- ¿Qué tenemos en la imagen "cuatro grupos de tres" o "tres grupos de cuatro"?

El paso así a expresar, la situación de la Figura 2 (grupos iguales) como 3+3+3+3, nos llevará a la lectura como "cuatro grupos de tres", y escribiremos como 4x3.

Yo lo estoy relatando demasiado deprisa, pero esto son semanas de trabajo, de juego, de dar sentido a la acción, de utilizar materiales cotidianos para representar y dar respuestas a situaciones concretas.

Y aquí viene el siguiente paso, y alguien nos diría cosas así como "para que tenga fluidez en el cálculo ahora es cuando hay que aprender las tablas de multiplicar". Así que, hagamos un ejercicio de reflexión. La expresión "cuatro grupos de tres", lo podremos leer como "cuatro veces tres", o 4x3, ¿y esto qué es la tabla del cuatro o del tres? (Figura 3).

Figura 3

Tablas del 3 y del 4

Nota. https://www.tablasdemultiplicar.com/

Si leemos la primera tabla, más allá del 3 por 1, o 3 por 7,... por ejemplo, vamos a pararnos en la lectura de la tabla tal como hemos hecho desde la construcción de grupos. Nuestra expresión está en la tabla del 4. ¿Leemos la tabla del cuatro?

4 veces 1, es cuatro

4 veces 2, es ocho

4 veces 3, es doce

4 veces 4, es dieciséis

(...)

Si nos damos cuenta, esta interpretación de la repetición no es la que habitualmente se hace con las tablas, el cuatro en este caso es el número de veces que se repite cada número, no "el número que se repite". 

La consigna de la maestra/o debe ir también dirigida a que el niño descubra que el resultado de "cuatro veces tres" coincide con "tres veces cuatro". La expresión verbal resultará fundamental y es que la investigación previa muestra hallazgos que "sugieren que las tablas de multiplicar se recuperan a través del procesamiento verbal durante el cálculo de la multiplicación incluso en la edad adulta" (Qu et al., 2021).

Pero ¿es necesario memorizar la tabla? ¿Realmente tiene algún sentido? Pues parto de que puede ser una manera de descontextualizar el aprendizaje y causar obstáculos a posteriori (De Visscher & Noël, 2014).

Las fases dadas por Baroody (Figura 4) para el dominio de hechos numéricos básicos, señalan la necesidad de representar y conectar.

Figura 4

Fases para el dominio de hechos numéricos 

Nota. Baroody citado en Kling & Bay-Williams, 2015, p.551.

Así, hemos de trabajar con una serie de estrategias que faciliten la práctica, respetando el ritmo de cada niño/a, y utilizando distintos materiales y registros de representación que se adecuen al contexto de la operación, recordemos que es importante combinar la resolución de problemas con la práctica de la operación. Siguiendo las recomendación de Kling y Bay-Williams (2015).

- Representación en forma de matriz, que nos muestre distintas ordenaciones de manera que se facilite el agrupamiento por filas y columnas.

- Representaciones en forma de matriz con cuadrados: 2x2, 3x3, ...

- Sumar o restar grupos: "9 × 6, así que pienso "10× 6 = 60" y resto un grupo de 6 para obtener 54".

- Trabajar con la mitad y duplicar: "6 × 8, así que pienso "3 × 8 = 24" y lo doblo para obtener 48".

- Uso de productos cuadrados cercanos: "7 × 6. Uso 6 × 6 = 36 y sumo un 6 más para obtener 42".

- Descomponer uno de los factores: "Divida uno de los factores en una suma conveniente de hechos conocidos, encuentre los dos hechos conocidos y combine los productos. Para hacer 7 x 6. Divido el 7 en 2 y 5, porque sé 2 × 6 y 5 × 6. Luego sumo 12 y 30 para obtener 42".

14 + 7 = 14 + (6 + 1) = (14 + 6) + 1 = 20 + 1.  

7. "Los estudiantes pueden usar operaciones de 2, 5 y 10 para resolver operaciones cercanas, como 3, 4, 6 y 9. Por ejemplo, los 6 hechos (6 × n) se pueden encontrar comenzando con cinco grupos del otro factor, más un grupo más de ese factor (5 × n + n)".

Otras prácticas ya mencionadas en el blog de manera previa, puede ser el trabajo con papel cuadriculado para representar en forma matricial distintas operaciones. Juegos cuyo resultado conlleve a la realización de la operación. 

En el documento de Flowers y Rubenstein (2010) puedes encontrar una tabla al final que te puede ayudar para desarrollar algunas prácticas que te ayuden para acompañar a los niños/as.

Referencias bibliográficas:

Bernard, A., Proust, C., & Ross, M. (2014). Mathematics education in antiquity. In A. Karp & G. Schubring (Eds.) Handbook on the history of mathematics education (pp. 27-53). Springer.

De Visscher, A., & Noël, M.P. (2014). The detrimental effect of interference in multiplication facts storing: Typical development and individual differences. Journal of Experimental Psychology: General, 143(6), 2380–2400. https://doi.org/10.1037/xge0000029

Flowers, J.M., & Rubenstein, R.N. (2010). Multiplication fact fluency using doubles. MatheMatics teaching in the Middle school, 16(5), 296-301.

Kling, G., & Bay-Williams, J.M. (2015). Teaching Children Mathematics, 21(9), 548-559.

Maki, K.E., Zaslofksy, A.F., Knight, S., Ebbesmeyer, A.M., & Chelmo-Boatman, A. (2021). Intervening with Multiplication Fact Difficulties: Examining the Utility of the Instructional Hierarchy to Target Interventions. J Behav Educ, 30, 534–558. https://doi.org/10.1007/s10864-020-09388-0

Qu, C., Szkudlarek, E., & Brannon, E. M. (2021). Approximate multiplication in young children prior to multiplication instruction. Journal of experimental child psychology, 207, 105116. https://doi.org/10.1016/j.jecp.2021.105116