martes, 2 de junio de 2020

Los problemas de multiplicación y su representación

Este año he tenido la oportunidad de tener reuniones con maestros en activo en distintos claustros, y ha sido una oportunidad maravillosa para mí, tanto para aprender como para reflexionar sobre algunos de los obstáculos de aprendizaje que podemos mejorar con sencillas aportaciones desde la didáctica.
Hoy me voy a centrar en uno de los contenidos de esas observaciones: la multiplicación; pero no desde el algoritmo al que dedicaré en breve otra entrada, sino desde los problemas.

Empecemos por situar la conversación desde el análisis del material que tenían delante:
- ¿Qué tipo de problemas utilizáis para trabajar la multiplicación?
- Bueno, los que vienen en el libro.
- ¿Os habéis fijado que no todos son iguales?
- Sí, los datos cambian, y la forma de preguntar.
- Pero no solo eso, sino el tratamiento de la operación y las posibles formas de representar.
- ¿Ah sí, en esta operación también?

Bien, pues, la situación ante la multiplicación es que además de estar anclada en la resolución de los problemas que aparecen en los libros de texto, tiene el lastre de las tablas de multiplicar, y parte de su enseñanza se centra en esa memorización sin ningún tipo de comprensión. Pero no entremos en valoraciones, sino en los tipos de problemas que podemos trabajar inicialmente con los chicos que están situando la multiplicación.


Los problemas de multiplicación se sitúan en lo que llamamos problemas de estructura multiplicativa, y ahí colocamos tanto los que implican el uso de la multiplicación como los de división. Vamos a intentar separar ambos tipos.
De manera general, los tipos de estos problemas de estructura multiplicativa según Verna son:
I) Isomorfismo de medidas, problemas cuya estructura consiste en una proporción entre dos espacios de medidas M1 y M2; II) Un solo espacio de medidas, problemas en los que se establece una correspondencia entre dos cantidades y un operador escalar designado por la palabra veces, y III) Producto de medidas, problemas cuya estructura consiste en la composición cartesiana de dos espacios de medidas M1 y M2 en un tercero, M3.
Fuente: Ivars y Fernández (2016, p. 11)

En el primer tipo, isomorfismo de medidas, encontramos problemas que establecen una relación entre cuatro cantidades, tres de ellas conocidas.

Ejemplo 1.
Si un kilo de naranjas me cuesta 3 euros, ¿cuánto me cuestan 5 kilos?

La situación inicial sería algo así, y nosotros tenemos que repetir esta situación que relaciona 1 y 3, con 5 y la cantidad desconocida.


Tendríamos una situación en forma de tabla similar a:
Ejemplo 2. 
En el árbol que hay frente a mi ventana hay 2 nidos. Cada uno tiene 7 huevos. ¿Cuántos huevos hay  en total?

La representación de la situación sería ahora algo así:



Como vemos pueden representarse por un esquema análogo, que relaciona las cuatro cantidades con las que el problema trabaja.

Este tipo de problemas puede variar su dificultad dependiendo su utilizamos cantidades discretas o continuas, y si los números son naturales, enteros o decimales. Claramente, si estamos introduciendo la operación el objetivo serían números naturales y cantidades discretas.

Los problemas de producto de medida "consisten en una relación ternaria entre tres cantidades, de las cuales, una es el producto de las otras dos, tanto en el plano numérico como el plano dimensional" (Vergnaud, 1997, p. 211).

Ejemplo 3.
Se pueden combinar faldas y camisas para vestirnos. Si tengo 3 camisas y dos faldas, ¿de cuántas formas puedo vestirme?



Para trabajar estos problemas, me gusta utilizar la representación en forma de árbol para su resolución:

 

No quiero terminar sin hacer una recomendación, que espero tener tiempo de desarrollar más en profundidad en una entrada posterior y es la importancia y/o influencia de la estructura aditiva en la multiplicativa, que la investigación de Fernández y Llinares (2011), desarrolla a partir de una experiencia de resolución de problemas con estudiantes de primaria.

Los problemas de un solo espacio de medidas, son problemas donde se establece una comparación entre dos cantidades, "una de estas cantidades actúa como referente y la otra como comparado y la comparación entre ambas se realiza mediante un escalar" (Ivars y Fernández, 2015, p. 329). Será importante tomar conciencia de que dependiendo cuál sea la cantidad ausente, el problema puede ser más o menos asequible dependiendo el momento de aprendizaje del estudiante. 

Ejemplo 4.
A Carmina su abuelo le da 3 euros cada semana. Su hermana María recibe 2 veces más. ¿Cuánto dinero recibe María cada semana?

La representación de este problema podría ser algo así:



Si he dejado para el final este tipo de problemas, precisamente ha sido porque son la tipología que cuando visito aulas se producen un mayor número de obstáculos precisamente por la traducción que se hace del lenguaje natural.
El primer tipo de obstáculo tiene lugar cuando no utilizamos representación, y es lo que se llama "error de inversión". Este tipo de error se produce al confundir en la traducción el lenguaje natural al algebraico. Si bien es verdad en este tipo de problemas sencillos con cantidades pequeñas no hay mucho lugar a confusión, aparecen por ejemplo en problemas "Hay cuatro veces más niños que niñas en una guardería", donde las interpretaciones erróneas (Laserna, Arnau y González, 2014, p. 105) que se pueden hacer en esta situación son:
4 * NIÑOS = NIÑAS 
NIÑAS = 4 * NIÑOS 
NIÑOS * 4 = NIÑAS 
NIÑAS = NIÑOS * 4 
NIÑOS = NIÑAS / 4 
NIÑAS / 4 = NIÑOS 
NIÑAS / NIÑOS = 4 
4 = NIÑAS / NIÑOS
El segundo tipo de obstáculo proviene de la traducción literal del enunciado, que podría dar lugar a una representación así:

Esta interpretación surge de añadir la estructura multiplicativa a la aditiva, e interpretar "dos veces más" no como el doble sino como un "añadido" a la cantidad inicial.

Por lo tanto, en este último tipo de problemas hemos de ser mucho más conscientes en su enseñanza de los posibles obstáculos que pueden tener lugar.



Referencias bibliográficas:

Ivars, P. & Fernández, C. (2016). Problemas de estructura multiplicativa: Evolución de niveles de éxito y estrategias en estudiantes de 6 a 12 años. Educación matemática, 28(1), 9-38. http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-58262016000100009

Fernández, C. y Llinares, S. (2011). Del aditivo a la estructura multiplicativa: El efecto de dos variables en el desarrollo del razonamiento proporcional. Journal for the Study of Education and Development, 34(1), 67-80. https://doi.org/10.1174/021037011794390111

Ivars, P. y Fernández, C. (2015). Evolución de los niveles de éxito en la resolución de problemas de estructura multiplicativa en Educación Primaria. En C. Fernández, M. Molina y N. Planas (eds.), Investigación en Educación Matemática XIX (pp. 327-334). Alicante: SEIEM. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5227411

Laserna, B., Arnau, D. y González, J.A. (2014). La coincidencia del orden de las palabras como un modelo explicativo al error de inversión. En J.L.González, J.A. Fernández-Plaza, E. Castro-Rodríguez, M.T. Sánchez, C. Fernández, J.L. Lupiáñez y  L. Puig (Eds.), Investigaciones en Pensamiento Numérico y Algebraico e Historia de las Matemáticas y Educación Matemática - 2014 (pp. 101-108). Málaga: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM). http://funes.uniandes.edu.co/5350/

Vergnaud, G. (1997). El niño, las matemáticas y la realidad. México: Trillas.

No hay comentarios:

Publicar un comentario