martes, 17 de diciembre de 2019

Trabajar con expresiones algebraicas de grado 1 y 2

Cuando los estudiantes dan el salto de las ecuaciones de grado 1 a grado 2, a veces se convierte en un momento crítico porque el nivel de abstracción aumenta, y hay situaciones donde el docente se limita a mostrar esa fórmula que muchos de los chavales aprenden de manera mecánica como "menos be más menos la raíz cuadrada..." y colocan todo en la ecuación buscando un a, un b y un c, que les permita colocarlo en esa fórmula que ejecutan casi como un mantra.

Vamos a trabajar en esta entrada con la representación utilizando "algebra tiles" como un paso previo que nos conducirá a completar cuadrados para resolver la ecuación.

Empezamos con las expresiones algebraicas. Es necesario antes de introducir las ecuaciones que los estudiantes tengan un dominio adecuado del trabajo con expresiones. Así que hoy voy a partir de esta aplicación:


La aplicación nos permite ilustrar el significado de qué es la multiplicación de expresiones. El producto de dos binominos de grado 1, da lugar a una expresión de grado 2 (polinomio). Colocamos los bordes y vamos completando el área de la expresión, contando podremos colocar la solución arriba:

Trabajar en los dos sentidos puede facilitar la comprensión, es decir, partir del producto para llegar a la expresión de segundo grado, o partir de ese polinomio de grado 2 para llegar al producto de binomios de grado 1.



Desde este producto iniciaremos ¿qué significa igualar a cero esta expresión? ¿Qué significa resolver la ecuación?

Utilizando https://mathbits.com/MathBits/AlgebraTiles/AlgebraTiles/AlgebraTiles.html podemos ilustrar de forma gráfica el trabajo desde los números enteros hasta el que acabamos de ver como producto de binomios.

Me gustaría partir desde esta solución, ¿qué significa resolver una ecuación de segundo grado?
1. Tenemos un polinomio, que igualamos a cero, y estamos buscando sus raíces.
2. Dado que la expresión para el polinomio de grado 2, vendría del resultado de dos monomios, tendríamos que empezar desde qué significa que el producto de dos monomios (o dos expresiones cualesquiera) sea igual a cero, podríamos decir que una de las dos ha de ser cero, o las dos.

Esta reflexión nos conducirá a la resolución.

Para ello vamos a utilizar una aplicación que nos facilita construir nuestra propia representación y diseñar expresiones que nos conducen a productos y a resoluciones.

https://mathsbot.com/manipulatives/tiles

¿Diseñamos nuestras actividades a partir de estas aplicaciones o construyendo nuestro material manipulativo utilizando estas aplicaciones como base?

No quiero terminar la entrada sin mencionar la representación gráfica, desde una balanza, algo que me parece facilitador para entender el significado físico de una expresión y después de una ecuación desde su representación en los ejes de coordenadas.
¿Qué es la solución de una ecuación? En este caso lo interpretamos como dos funciones que se encuentran a uno y otro lado de la igualdad.



Factorizar un número

Al llegar al aula, me gusta recordar diferentes contenidos matemáticos o procedimientos, que vayan asociados al trabajo del día.
Considero que el buen maestro/a de Educación Infantil debe dominar en profundidad los contenidos desde una perspectiva comprensiva y profunda del significado que tienen, y aún sabiendo que en clase de infantil no van a factorizar números, considero que conocer una buena representación puede dar lugar a actividades guiadas con los niños, quizá no con ese sentido específico pero sí preparándoles incluso para la multiplicación, que es la operación que sustenta esa factorización.

Los maestros necesitan más conocimiento para reconocer conceptos matemáticos específicos utilizados en el juego de los niños para poder aumentar y mejorar el pensamiento matemático en preescolares, medición y clasificación, operaciones, formas y relaciones espaciales. Los maestros necesitan conocimientos para interpretar situaciones matemáticas con el fin de identificar formas de mejorar el pensamiento matemático de los niños. (...)
Lee, J.E. (2017) Preschool Teachers’ Pedagogical Content Knowledge in Mathematics. IJEC 49, 229–243  doi:10.1007/s13158-017-0189-1
 Bueno pues cuando mencioné la palabra factorización, uno de los estudiantes dijo "profe, ¿eso es lo de la rayita?". Son esas cosas que suenan como casi dolientes, pero que demuestran que ese muchacho, no había entendido mucho del significado de factorizar y se había quedado en un procedimiento estanco que ejecutaba probablemente sin mucha reflexión.

Les mostré dos aplicaciones, parecidas y sencillas, para visualizar el significado de factorizar. Ambas pueden sustituir por una representación en papel, pero... ¿por qué no apoyarnos en la tecnología?

Vamos con un número sencillo, el 12.


 Fuente: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Factorize/


Fuente: https://mathsbot.com/manipulatives/numberFrames

Factorizar desde esta representación es construir un rectángulo, que al multiplicar sus dimensiones da lugar al número buscado.
Las tareas de exploración en la primera de las aplicaciones son muy interesantes:
Siga las instrucciones para encontrar factorizaciones para varios números. Mientras trabaja, vea si puede responder estas preguntas:
  • ¿Por qué crees que la longitud y el ancho de los rectángulos representan los factores de tus números?
  • ¿Qué número tiene más factorizaciones? ¿Cuál tiene la menor cantidad? ¿Por qué crees que es esto?
  • ¿Qué tipos de números tienen una sola factorización? ¿Qué tienen en común los rectángulos para estas factorizaciones?
  • Si duplica un número, ¿qué sucede con el número de factorizaciones? ¿Notas un patrón en las factorizaciones de tu número original y el número duplicado?
¿Les intentas dar respuesta?