miércoles, 22 de julio de 2020

Ositos "cosedores"

Hoy me acerco a un material que me ha parecido precioso, por su sencillez y la gran cantidad de potencial que podemos sacarle en edades tempranas. Será mi regalo para la pequeña Clara.




Bote con 50 siluetas de ositos de 4x5 cm, en plástico de 5 colores. 
Thready Bears (by Anthony Peters)

Comienzo por una actividad como es el COSIDO de los ositos con el cordón, una tarea que ayudará a la motricidad fina de los niños.

La segunda utilidad con los ositos es la CLASIFICACIÓN:
Podemos considerar esta tarea de clasificación como un saber lógico, que se integrará en un conjunto de saberes junto a la seriación o enumeración que preparará al niño para un aprendizaje posterior del número natural y las formas geométricas; “clasificar supone abstraer de los objetos determinados  atributos  esenciales  que  los  definen”  (Chamorro,  2005, p.  126). Además  la clasificación  puede  considerarse  también  de  utilidad  para  otras  áreas  del  currículo  en  estas primeras  edades;  como  la  geometría,  al  establecer  clasificaciones  disjuntas  de  rectángulos  y cuadrados (Clements y Sarama, 2011). La  tarea  de  clasificar  “implica  la  aplicación  o  descubrimiento  de  una  regularidad, clasificatoria” (Ruesga, Giménez y Orozco, 2005, p. 130), que dadas las características de la etapa se suele poner en escena a través del juego. Esta tarea de clasificar permanece desde niños hasta adultos,  dado  que  mantener  una  organización  en  las  cosas  o  situaciones  nos  facilita  su comprensión. 

Dos sentidos a la clasificación: 
- Por color
- Por número de puntos


Además se puede dar lugar a una clasificación doble, cuando el niño por ejemplo tiene ya seleccionados los ositos por color pedirle que ahora los clasifique por número de puntos (en este caso, a lo mejor es interesante tener más de un bote).

La tercera utilidad es la SERIACIÓN, podemos construir series por color a partir de patrones incompletos, será tan sencillo como darles de manera combinada tiras de colores, como esta:

O esta:
https://mathsbot.com/manipulatives/tenFrame
 En ambos casos podremos observar cuál es la opción del niño ante la repetición del patrón (de orden 3 o 2). Lo importante será que escuchemos sus razonamientos, para ayudarle a comprender la naturaleza del patrón. En ambas, podría continuar por amarillo o rojo dependiendo su observación/comprensión del patrón.

La cuarta utilidad sería el trabajo NUMÉRICO, con número hasta el 5, que nos facilitará el trabajo con la subitización o el conteo de los puntos que cada osito tiene. Incluso puede ser interesante un primer abordaje de la suma, trabajando con dos ositos a la vez.



viernes, 12 de junio de 2020

Lecturas para aprender a contar

Para enseñar matemáticas a los más pequeños de la casa siempre me ha encantado utilizar cuentos con ilustraciones, y aquí quiero hacer una recopilación de algunos de ellos; además creo que ahora pueden venirle bien a mi amiga Noemí que anda recopilando lecturas...

Ten Black Dots

Anno’s Counting Book 

Ten Apples Up On Top

10 Little Rubber Ducks

Counting Crocodiles

Fish Eyes

1,2,3 To the zoo a counting book


martes, 2 de junio de 2020

Los problemas de multiplicación y su representación

Este año he tenido la oportunidad de tener reuniones con maestros en activo en distintos claustros, y ha sido una oportunidad maravillosa para mí, tanto para aprender como para reflexionar sobre algunos de los obstáculos de aprendizaje que podemos mejorar con sencillas aportaciones desde la didáctica.
Hoy me voy a centrar en uno de los contenidos de esas observaciones: la multiplicación; pero no desde el algoritmo al que dedicaré en breve otra entrada, sino desde los problemas.

Empecemos por situar la conversación desde el análisis del material que tenían delante:
- ¿Qué tipo de problemas utilizáis para trabajar la multiplicación?
- Bueno, los que vienen en el libro.
- ¿Os habéis fijado que no todos son iguales?
- Sí, los datos cambian, y la forma de preguntar.
- Pero no solo eso, sino el tratamiento de la operación y las posibles formas de representar.
- ¿Ah sí, en esta operación también?

Bien, pues, la situación ante la multiplicación es que además de estar anclada en la resolución de los problemas que aparecen en los libros de texto, tiene el lastre de las tablas de multiplicar, y parte de su enseñanza se centra en esa memorización sin ningún tipo de comprensión. Pero no entremos en valoraciones, sino en los tipos de problemas que podemos trabajar inicialmente con los chicos que están situando la multiplicación.


Los problemas de multiplicación se sitúan en lo que llamamos problemas de estructura multiplicativa, y ahí colocamos tanto los que implican el uso de la multiplicación como los de división. Vamos a intentar separar ambos tipos.
De manera general, los tipos de estos problemas de estructura multiplicativa según Verna son:
I) Isomorfismo de medidas, problemas cuya estructura consiste en una proporción entre dos espacios de medidas M1 y M2; II) Un solo espacio de medidas, problemas en los que se establece una correspondencia entre dos cantidades y un operador escalar designado por la palabra veces, y III) Producto de medidas, problemas cuya estructura consiste en la composición cartesiana de dos espacios de medidas M1 y M2 en un tercero, M3.
Fuente: Ivars y Fernández (2016, p. 11)

En el primer tipo, isomorfismo de medidas, encontramos problemas que establecen una relación entre cuatro cantidades, tres de ellas conocidas.

Ejemplo 1.
Si un kilo de naranjas me cuesta 3 euros, ¿cuánto me cuestan 5 kilos?

La situación inicial sería algo así, y nosotros tenemos que repetir esta situación que relaciona 1 y 3, con 5 y la cantidad desconocida.


Tendríamos una situación en forma de tabla similar a:
Ejemplo 2. 
En el árbol que hay frente a mi ventana hay 2 nidos. Cada uno tiene 7 huevos. ¿Cuántos huevos hay  en total?

La representación de la situación sería ahora algo así:



Como vemos pueden representarse por un esquema análogo, que relaciona las cuatro cantidades con las que el problema trabaja.

Este tipo de problemas puede variar su dificultad dependiendo su utilizamos cantidades discretas o continuas, y si los números son naturales, enteros o decimales. Claramente, si estamos introduciendo la operación el objetivo serían números naturales y cantidades discretas.

Los problemas de producto de medida "consisten en una relación ternaria entre tres cantidades, de las cuales, una es el producto de las otras dos, tanto en el plano numérico como el plano dimensional" (Vergnaud, 1997, p. 211).

Ejemplo 3.
Se pueden combinar faldas y camisas para vestirnos. Si tengo 3 camisas y dos faldas, ¿de cuántas formas puedo vestirme?



Para trabajar estos problemas, me gusta utilizar la representación en forma de árbol para su resolución:

 

No quiero terminar sin hacer una recomendación, que espero tener tiempo de desarrollar más en profundidad en una entrada posterior y es la importancia y/o influencia de la estructura aditiva en la multiplicativa, que la investigación de Fernández y Llinares (2011), desarrolla a partir de una experiencia de resolución de problemas con estudiantes de primaria.

Los problemas de un solo espacio de medidas, son problemas donde se establece una comparación entre dos cantidades, "una de estas cantidades actúa como referente y la otra como comparado y la comparación entre ambas se realiza mediante un escalar" (Ivars y Fernández, 2015, p. 329). Será importante tomar conciencia de que dependiendo cuál sea la cantidad ausente, el problema puede ser más o menos asequible dependiendo el momento de aprendizaje del estudiante. 

Ejemplo 4.
A Carmina su abuelo le da 3 euros cada semana. Su hermana María recibe 2 veces más. ¿Cuánto dinero recibe María cada semana?

La representación de este problema podría ser algo así:



Si he dejado para el final este tipo de problemas, precisamente ha sido porque son la tipología que cuando visito aulas se producen un mayor número de obstáculos precisamente por la traducción que se hace del lenguaje natural.
El primer tipo de obstáculo tiene lugar cuando no utilizamos representación, y es lo que se llama "error de inversión". Este tipo de error se produce al confundir en la traducción el lenguaje natural al algebraico. Si bien es verdad en este tipo de problemas sencillos con cantidades pequeñas no hay mucho lugar a confusión, aparecen por ejemplo en problemas "Hay cuatro veces más niños que niñas en una guardería", donde las interpretaciones erróneas (Laserna, Arnau y González, 2014, p. 105) que se pueden hacer en esta situación son:
4 * NIÑOS = NIÑAS 
NIÑAS = 4 * NIÑOS 
NIÑOS * 4 = NIÑAS 
NIÑAS = NIÑOS * 4 
NIÑOS = NIÑAS / 4 
NIÑAS / 4 = NIÑOS 
NIÑAS / NIÑOS = 4 
4 = NIÑAS / NIÑOS
El segundo tipo de obstáculo proviene de la traducción literal del enunciado, que podría dar lugar a una representación así:

Esta interpretación surge de añadir la estructura multiplicativa a la aditiva, e interpretar "dos veces más" no como el doble sino como un "añadido" a la cantidad inicial.

Por lo tanto, en este último tipo de problemas hemos de ser mucho más conscientes en su enseñanza de los posibles obstáculos que pueden tener lugar.



Referencias bibliográficas:

Ivars, P. & Fernández, C. (2016). Problemas de estructura multiplicativa: Evolución de niveles de éxito y estrategias en estudiantes de 6 a 12 años. Educación matemática, 28(1), 9-38. http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-58262016000100009

Fernández, C. y Llinares, S. (2011). Del aditivo a la estructura multiplicativa: El efecto de dos variables en el desarrollo del razonamiento proporcional. Journal for the Study of Education and Development, 34(1), 67-80. https://doi.org/10.1174/021037011794390111

Ivars, P. y Fernández, C. (2015). Evolución de los niveles de éxito en la resolución de problemas de estructura multiplicativa en Educación Primaria. En C. Fernández, M. Molina y N. Planas (eds.), Investigación en Educación Matemática XIX (pp. 327-334). Alicante: SEIEM. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5227411

Laserna, B., Arnau, D. y González, J.A. (2014). La coincidencia del orden de las palabras como un modelo explicativo al error de inversión. En J.L.González, J.A. Fernández-Plaza, E. Castro-Rodríguez, M.T. Sánchez, C. Fernández, J.L. Lupiáñez y  L. Puig (Eds.), Investigaciones en Pensamiento Numérico y Algebraico e Historia de las Matemáticas y Educación Matemática - 2014 (pp. 101-108). Málaga: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM). http://funes.uniandes.edu.co/5350/

Vergnaud, G. (1997). El niño, las matemáticas y la realidad. México: Trillas.

jueves, 28 de mayo de 2020

¿Dónde ponemos a la regla de tres?


No tenemos más que preguntarle a google por la "regla de tres" para que en unos pocos segundos, nos devuelva miles de resultados.
Esto es un reflejo de su uso en "sociedad", y es que más de una vez cuando en una de mis clases en la universidad he manifestado mi aversión a semejante uso de los números más de un estudiante me ha señalado, que lo consideraba lo único útil de las matemáticas, momento en el cual yo he tenido ganas de esconderme cuál avestruz debajo de la mesa.

Pero mi entrada de hoy no pretende otra cosa que recopilar artículos de revistas científicas, de los que señalaré algún que otro fragmento, para darnos cuenta que ese multiplicar en cruz no puede llevarnos a nada más que un vacío de comprensión del verdadero significado de la proporcionalidad.

Quiero empezar mi recorrido de lecturas, por un artículo sencillo, de agradable lectura que nos acerca a distintos enfoques de esta regla y a los personajes que los escribieron.

Obando Zapata, G. (2018). Regla de tres simple directa: avatares de un algoritmo. Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática, 13(17), 113-124.
Y a la mención que hace en sus conclusiones, "cuando esta enseñanza se hace sin el reconocimiento de los fundamentos teóricos que le dan su valor matemático, es una regla vacía, carente de significado que se aplica de forma indistinta a cualquier situación de cuatro términos, donde uno de ellos es desconocido, sin importar si las formas de covariación entre tales cantidades permite su aplicación. Como Leonardo lo muestra, es fundamental comprender el método, pero también su fundamento".
Gairín Sallán, J. M., & Escolano Vizcarra, R. (2009). Proporcionalidad aritmética: buscando alternativas a la enseñanza tradicional. Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, 62, 35-48.
Y es que en nuestros libros de texto al llegar al apartado de proporcionalidad, la regla de tres parece la protagonista de sus páginas, "la tendencia general de los libros de texto es la de presentar la técnica de la regla de tres mediante un ejemplo y, seguidamente, detallar la técnica con carácter general. Y todos los textos consultados siguen un mismo esquema: primero se aborda la regla de tres simple y directa, después la regla de tres simple e inversa y, finalmente, la regla de tres compuesta". 

Mochón Cohen, S. (2012). Enseñanza del razonamiento proporcional y alternativas para el manejo de la regla de tres. Educación matemática, 24(1), 133-157. 

Ante uno de esos dibujitos de las flechas cruzadas tras la resolución de un problema señala "Las soluciones de este tipo son aplicaciones automáticas de una regla y por lo cual no se puede afirmar algo sobre si el alumno identifica de manera correcta el tipo de problema o si comprende su resultado. Sin embargo, la aplicación de esta regla sin una base sólida sobre las características de los problemas de proporcionalidad puede llevar frecuentemente a errores".

Gómez, B. (2006). Los ritos en la enseñanza de la regla de tres. En A. Maz, M. Torralbo y L. Rico (Coords.), José Mariano Vallejo, el matemático ilustrado. Una mirada desde la Educación Matemática (pp. 49-69). Universidad de Córdoba.

Nos facilita un transitar histórico por su enseñanza, que nos sitúa sobre lo que está pasando a día de hoy, indicando que "en la actualidad, se ha recuperado el enfoque de la proporción con el auxilio del álgebra, pero de dos nuevas maneras: una es una variante del método de reducción a la unidad que utiliza la constante de proporcionalidad o valor unitario".

Gairín, J. M., & Oller, A. M. (2012). Análisis histórico sobre la enseñanza de la razón y la proporción. En A. Estepa, Á. Contreras, J. Deulofeu, M. C. Penalva, F. J. García y L. Ordóñez (Eds.), Investigación en Educación Matemática XVI (pp. 249 - 259). Jaén: SEIEM

En la descripción de cómo un estudiante resuelve un ejercicio, señalan "el uso de la regla de tres eclipsa los conocimientos anteriores sobre los significados de las operaciones en las estructuras multiplicativas de los naturales y los racionales positivos".

Y es que para terminar hasta en la novela aparece, y es que hasta como título de novela la encontramos, cuando el libro de Antonio Gala, que lleva por título "La regla de tres. Donde el amor se atreve a decir todos sus nombres", podemos leer en su contraportada "ésta es la regla de tres que acaso resuelva los interrogantes de Octavio o acaso le plantee un problema más grave. Porque quien en esa regla multiplica ha de estar dispuesto después a dividir".

miércoles, 13 de mayo de 2020

¿Cómo introducir la "mitad"?

El concepto de mitad lo utilizamos de manera constante los adultos, pero esta semana gracias a Mercedes me he puesto a reflexionar sobre ¿cómo hemos de acercar este concepto a los niños?
En la entrada de hoy intentaré aportar una serie de ideas que pueden ser de utilidad para trabajar este concepto*.
Iniciamos nuestra reflexión con una imagen y un diálogo:

- ¿Qué distancia separa a la niña de su perro?
- La varilla verde.
- Si quiero caminar hasta mitad, ¿hasta dónde debo caminar?

Sería suficiente coger la varilla de plástico doblarla dejando dos partes iguales, para saber cuál es la "mitad" de la longitud.



Como adultos lo hemos visto sencillo, pero ¿sería igual para los niños? Veamos una segunda imagen.



La distancia que separa a la niña de su perro ahora son unas bolitas todas iguales de tamaño, exactamente ocho bolitas, y ¿cuál es la mitad? Necesitaremos dos pequeños recipientes que nos facilite colocar la misma cantidad de bolitas en cada uno de ellos.


¿Cuál es la mitad de la cantidad de bolitas? Son cuatro, y además las dos mitades tienen que ser iguales.

Ahora me lo planteo, si quiero trabajar el concepto "mitad" creo que es mejor trabajar con materiales discretos (bolas, perlas, alubias, policubos, ...) y tener dos recipientes (cuencos, tapones, botes, ...) donde colocar nuestros objetos y comprobar que la mitad da lugar a dos conjuntos exactamente iguales, que unidos es el conjunto total de elementos original.

Lo he forzado para tener un número par que diese lugar a dos mitades iguales, pero ¿qué sucedería si tengo 9 bolitas por ejemplo? En este caso los materiales discretos no facilitan la representación de la mitad y por tanto, sería más adecuado quedarnos con la varilla verde y cortarla con las tijeras.

Ahora necesitamos un lapicero, unas tijeras y unas formas geométricas (yo voy a utilizar los bloques lógicos).


Los niños podrán dibujar las formas en el papel, y después recortar. El trabajo sería en este orden: cuadrado, rectángulo, círculo y triángulo. Al doblar el papel por la "mitad" podemos colorear cada mitad de un color. Veremos que hay formas sencillas de ver como el cuadrado y el círculo que si doblamos, casi por cualquier parte da lugar a la mitad (dos figuras exactamente iguales), sin embargo, no siempre sucede con el rectángulo y aún menos con el triángulo. Esta experimentación puede dar lugar a un trabajo de exploración de propiedades de las formas, sus elementos, y sus características diferenciales.
En este sentido, la noción de mitad es desde la percepción de ver dos partes iguales, igual que antes con las bolitas podíamos comprobar, ahora el plegado de papel nos facilita esa comprobación pero no es ya tan evidente para los niños.

¿Qué más aproximaciones a la "mitad" podemos hacer?




Tengo varios botes, con líquidos u otros elementos (harina, arena, arroz, ...) que puedo llenar hasta la mitad, puedo ayudarme con jarras medidoras que incluso tienen marcas que nos ayudan a comprobar, cómo una cantidad, la puedo "repartir" en dos envases iguales colocando la misma cantidad en cada uno de ellos. Una vez trasvasada puedo pegar los pequeños envases (es importante que sean exactamente iguales) para comprobar que tengo dos mitades iguales.


Para terminar podemos trabajar con objetos cotidianos de distinta naturaleza:
- Vamos a comer una mandarina y repartir los gajos en dos mitades, para comer una mitad ahora y otra más tarde.
- Cortamos una manzana en dos partes iguales, una para mi hermano y otra para mí.
- Tomaremos la mitad de la leche que hay en la jarra cada uno.
- Partiremos la tableta de chocolate en onzas, y serán la mitad para cada uno.





* Utilizo materiales muy de "andar por casa" porque estamos en tiempos de confinamiento, y no podemos utilizar cosas del colegio.

domingo, 26 de abril de 2020

Una primera aproximación a las fracciones

En estos días me han llegado distintas consultas sobre el trabajo con las fracciones, por ello he querido grabar un vídeo y aportar unos poquitos recursos para que podáis utilizar.


Recursos:

1. Regletas: https://mathsbot.com/manipulatives/rods
2. Muro de fracciones: https://mathsbot.com/manipulatives/fractionWall
3. Fracciones equivalentes: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Equivalent-Fractions/
4. Representando fracciones: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Fraction-Models/
5. Jugando con las fracciones: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Fraction-Game/
6. Repartos: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/The-Quotient-Cafe/
7. Factorizar números: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Factorize/
8. Representaciones en conjuntos discretos: https://www-k6.thinkcentral.com/content/hsp/math/hspmath/na/common/itools_int_9780547584997_/counters.html
9. Tareas e imprimibles: https://www.superteacherworksheets.com/fractions-basic.html
10. Jugando con las pizzas: Jugando con las pizzas: https://mrnussbaum.com/tony-fraction-s-pizza-shop-in-spanish-online-game
11. Representación visual de las fracciones: https://www.visualfractions.com/teachers/
12. Jugando con las pizzas: https://mrnussbaum.com/tony-fraction-s-pizza-shop-in-spanish-online-game

miércoles, 18 de marzo de 2020

Reflexiones en torno a la balanza numérica



Fuente: http://mathszone.net/mw/number/NumberBalance/NumberBalancePlay/index.html

Ya en otras ocasiones en el blog he escrito sobre balanzas numéricas, y hoy quiero mostraros una aplicación que nos facilita el uso de la balanza pero lo mejor es que facilita un cambio de registro de la representación al símbolo.
Podemos considerarla una balanza de equilibrio, porque la inclinación nos ayudará a determinar cuál es la situación numérica que tenemos.

¿Cómo podemos trabajar?
1. Dando una desigualdad y pidiendo que el niño la represente, después en "SHOW" puede comprobar cómo la ha realizado.
2. Dando distintas relaciones entre números para que los niños coloquen el signo de la desigualdad, observando la inclinación de la balanza.
3. Dando un número en uno de los lados y dando lugar a la descomposición aditiva en el otro (¿con qué números al sumar podemos conseguirlo?)

Otras versiones digitales:
https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Pan-Balance----Numbers/