Un juego simbólico: poner la mesa

«El juego de poner la mesa*» 

Material 

Una colección de 20 platos, una caja con una colección de 25 cubiertos de cada clase (cucharas, tenedores, vasos y cuchillos de plástico), una mesa y cuatro cestas para transportar los cubiertos. Papel y lápiz para escribir los mensajes. 

Desarrollo 

El juego se lleva a cabo en varias etapas: 

Primera etapa: la actividad se realiza en un taller de cuatro alumnos. La maestra coloca los platos en la mesa y propone a cada alumno que traiga los cubiertos necesarios para que haya uno por cada plato. En esta primera etapa, la caja de los cubiertos está al lado de la mesa en la que se han colocado los platos. 

Segunda etapa: se propone la misma actividad en un taller de cuatro alumnos, pero ahora la caja de los cubiertos está en un lugar desde el que no es posible ver los platos. La consigna que da la maestra es: «Debéis traer los cubiertos necesarios para que haya exactamente uno por cada plato». Entonces, un alumno irá a buscar las cucharas, otro los tenedores, etc. Al principio, los alumnos pueden realizar los viajes que deseen, pero posteriormente la maestra debe proponer: «Debéis traer en un solo viaje los cubiertos necesarios para que haya exactamente uno por cada plato». 

Cuando cada alumno trae su colección de cubiertos en la cesta, la maestra pregunta: «¿Crees que traes justo un cubierto para cada plato?». A continuación, los compañeros y el propio alumno pueden comprobar si han resuelto bien la tarea propuesta o no. 

Tercera etapa: el juego se convierte en una situación de comunicación escrita. La maestra dice: «Hoy, tú no irás a buscar los cubiertos sino que se lo encargarás a un compañero mediante un mensaje escrito. Para ello, yo te daré una colección de platos y deberás indicarle a tu compañero (que no ve la colección de platos) mediante un mensaje escrito que traiga los cubiertos necesarios para que haya exactamente uno por cada plato». La maestra realiza un sorteo para asignar a cada alumno emisor un compañero receptor. Una vez que el alumno receptor trae la colección de cubiertos pedidos, ambos alumnos comprueban si se ha resuelto bien la tarea propuesta o no. El juego se realizará varias veces y los alumnos intercambiarán sus papeles.

* a partir de Briand, Loubet y Salin (2004). 

- Tomado íntegramente de Sierra et al. (2012, p. 247)

El contenido matemático es básicamente el conteo, pero ¿qué otros contenidos podemos trabajar con este material?

- De manera previa al inicio del juego, podemos clasificar en pequeñas bandejas los platos, los vasos, los tenedores, etc. Este juego puede contar con distintas variables didácticas, si incorporamos por ejemplo platos de distintos tamaños, o colores.

- Si contamos con el mismo utensilio de distintos tamaños podemos utilizar la ordenación por tamaños (de manera perceptiva), o incluso si contamos con vasos (o similar) de distintos tamaños, y utilizando el trasvase de líquidos podemos ordenarlos por su capacidad. Podemos trabajar estos contenidos desde distintos rincones (Chica, 2015).

- ¿Por qué es tan importante que haya más cubiertos que platos? Porque si hay la misma cantidad, el niño buscará vaciar la bandeja, pero no se desarrollará el conteo. Podremos ir variando las cantidades de unos y otros, como distintas variables didácticas en el trabajo.

- Los cubiertos colocados en hilera sobre el borde del mantel para medirlo (magnitud longitud), pueden ser útiles a la hora de la búsqueda de referentes para la unidad. En este caso, puede ser interesante para que no sea demasiado complejo contar únicamente con dos tipos de cubiertos, y de distinta longitud. Dejaremos que ellos descubran el referente a partir del trabajo en distintos grupos, con manteles iguales, y después poniendo en común en asamblea los resultados.

Fuente de la imagen: Pixabay

Otros usos del juego simbólico de las cocinitas desde los contenidos matemáticos:

"Los niños y niñas disfrutan mucho jugando en este espacio por eso lo utilizamos para trabajar contenidos de distintas materias. Por ejemplo, hacer listas de la compra, hacer recetas, trabajar los colores y las formas con los alimentos, hacer series y, en este caso,  trabajar  los  números.  Uno  de  los  juegos  más  sencillos  es  tener  una  lista  de  precios. Nosotras  creamos  una  con  los  alimentos  de  plástico  que  tenemos  en  nuestra  cocinita  y utilizando  números  del  0  al  5  al  principio  y  cambiándolos  a  medida  que  aprendían  más números. Al principio del juego se les daba las monedas que necesitaban para comprar cada alimento, pero sin límite de monedas. Pero poco a poco añadimos algunas reglas más, como: utilizar solamente 10 monedas, comprar 3 alimentos y sumar cuánto dinero se ha gastado, etc." (Fábrega, & Edo i Basté, 2020, 91-92)

Referencias bibliográficas:

Chica, M. (2020). Las tablas de doble entrada y su aplicación en el aula de educación infantil con niños de 4 y 5 años. Edma 0-6: EducacióN MatemáTica En La Infancia, 3(2), 37-52.  https://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6/article/view/130

Fábrega, J., & Edo i Basté, M. (2020). Matemáticas de Infantil en Delaware, USA. Edma 0-6: EducacióN MatemáTica En La Infancia, 2(1), 82-94. https://www.edma0-6.es/index.php/edma0-6/article/view/112

Sierra Delgado, T. A., Bosch Casabó, M. y Gascón Pérez, J. (2012). LA FORMACIÓN MATEMÁTICO-DIDÁCTICA DEL MAESTRO DE EDUCACIÓN INFANTIL: EL CASO DE «CÓMO ENSEÑAR A CONTAR». Revista de Educación, 357, 231-256. https://eprints.ucm.es/id/eprint/25154/1/re357_11.pdf 

Problemas de suma con pingüinos

 La reflexión de hoy parte de intentar de dar respuesta a dos preguntas:

- ¿Todos los problemas de suma son iguales?

- ¿Qué material es más adecuado para trabajar los problemas de suma?

La respuesta a la primera pregunta es no, veremos después con los ejemplos, y la respuesta a la segunda, es... yo te voy a enseñar uno, pero quizá con tus niños puedas utilizar otro; este tipo de materiales es muy sensible a los gustos de los niños, y siempre hay niños que les gustan los dinosaurios, los coches, o las piedras, por poner algunos ejemplos, pues utiliza aquello que consideres les va a motivar más.

Inicio preparando el material (Figura 1) para que cada niño tenga el suyo:

Figura 1. Materiales para la plantilla

Necesito un papel en blanco, una bolsa de documentos, una regla y un rotulador; este material me servirá para construir la plantilla de trabajo (Figura 2).

Figura 2. Plantilla individual de trabajo

Iniciamos la reflexión con tres problemas:

A. En la pradera de hielo hay dos iglús. En el iglú de la bandera roja hay 4 pingüinos, y en el de la bandera verde, hay 3 pingüinos ¿Cuántos pingüinos hay en total? (Figura 3).

B. La mamá pingüino ha preparado un columpio en el hielo para su bebé, y hoy ha invitado a tres amiguitos más ¿Cuántos pingüinos hay en el columpio ahora? (Figura 4).

C. En el Polo Norte hay dos escuelas de pingüinos. En la escuela roja hay 6 pingüinos, en la escuela verde hay 5 pingüinos más que en la roja ¿Cuántos pingüinos hay en la escuela verde? (Figura 5).

Les ponemos nombre, que nos ayudará a entender el objetivo. El problema A es un problema de combinación. El problema B es un problema de cambio. El problema C es un problema de comparación.

¿Te has dado cuenta de que la dificultad es muy diferente? Pues hemos de asegurarnos cuando planteemos los problemas a los niños que están preparados para entender el enunciado, y que están preparados para realizar sumas con números pequeños.

Ilustremos las situaciones iniciales en los tres problemas, señalando una primera ventaja de trabajar así, y es que los niños colocan los pingüinos sobre la plantilla de diferentes maneras, lo que facilita el conteo desde estas posiciones. Además, ahora tenemos pingüinos (que puedes sustituir por fichas, tapones, ...), además los gomets es sencillo pegarlos y cambiarlos sobre el plástico, y cuando los niños han practicado con el material y ya pueden trabajar con la grafía de los números, el plástico nos permite pintar con un rotulador de pizarra, y borrarlo fácilmente.

Figura 3. El problema A

Figura 4. El problema B

Figura 5. El problema C

Pues visto así parecen iguales, pero la acción es muy distinta, y esta reflexión es necesaria trabajarla con los niños de manera progresiva, situando el material de manera correcta sobre las casillas.

¿Resuelves los problemas tú (Figura 6)?

Como reflexión final a los pingüinos, los tipos de problemas o el significado de la suma... es necesario "institucionalizar" el sentido de lo que estamos haciendo. No podemos ver el trabajo como el mover pingüinos de un sitio a otro, sino que el objetivo es que el niño lo transforme en resolución del problema y reflexione sobre ello. Podemos para ello, por ejemplo, pedirles:

- que nos lo cuenten.

- que sean ellos quienes planteen nuevos problemas a partir del nuestro

- que traduzcan el problema a un dibujo o una operación

Retrasar las cifras, adelantar los aprendizajes

En este tiempo, respetando todo lo posible el confinamiento individual en el hogar, tengo más tiempo para explorar experiencias en las aulas de infantil que se muestran en las redes, o leer artículos de revistas que nos invitan a conocer experimentaciones con materiales en la escuela, ... En resumen, que intento tener la cabeza un poco ocupada para no pensar en esas cifras que nos muestran a diario en la prensa.

Y en esas cifras nace mi reflexión de hoy, cifras que nos abruman, y que parece que nos han obsesionado asociando la palabra matemáticas a ellas, y lo que más me preocupa, intentando que los niños las "manejen" lo antes posible, haciendo así que surjan de manera constante metodologías sustentadas en el uso del número como base de cualquier aprendizaje matemático en Educación Infantil.

Pues me atrevo a decir que es un error, que en esa preciosa etapa inicial en la escuela, los niños deben explorar, y se pueden trabajar muchas cosas sin necesidad de asociarlas a cifras, que es el momento perfecto para que ellos mismos descubran cosas que relacionarán más tarde con números probablemente, pero que en ese instante inicial habrán sido parte del tacto, de la vista, de la experimentación, del asombro... 

Les muestro una secuencia didáctica a partir de imágenes, que espero sirva de ejemplo para mostrar esos primeros aprendizajes estadísticos, de los que ya hablé por aquí de manera previa. Hoy le ponemos relato, o una razón real para ver qué podemos hacer.

 Ayer mamá fue a la compra. Durante varios días una borrasca llamada Filomena no nos ha dejado salir de casa, y no había muchos camiones de reparto, así que en el mercado había muy poquito de cada cosa.

Cuando mamá llegó a casa le ayudamos a sacar la fruta del carrito, y esto nos encontramos:

Hay muchas frutas, pero ¿podremos tomar todos de todas? En casa estamos mamá, papá, María y yo. Aunque María aún no come fruta a mordiscos, porque es pequeña y se la hacen en puré con galletas.

Lo primero que vamos a hacer es ponerlas en cajas, para ver qué montón es más grande.

La tarea aquí es la clasificación y empezamos a percibir el cardinal del conjunto desde la observación. Como vemos las frutas son de distintos tamaños, esto nos da más posibilidades, porque no siempre tendrá más cosas el montón de mayor tamaño.

Parece que tenemos pocas manzanas y fresas, vamos a colocarlas mejor.

El trabajo en esta parte es súper interesante con los niños, sobre todo escuchando sus aportaciones, ¿por qué tenemos que colocarlas así y no de otra manera? ¡Vamos a colocarlas de otra manera! ¿A quién ponemos primero? Estamos trabajando con datos cualitativos, el tipo de fruta o el color, no debe darnos lugar a un orden, pero los niños ya perciben donde hay más o menos, dejemos que ellos coloquen las frutas, eso sí, pero que nos cuenten qué sucede. Desde esta imagen podríamos establecer el reparto, pero vayamos un poco más allá.

Como las frutas tienen distintos tamaños es difícil comparar unos montones con otros, así que vamos a sacar los policubos, y vamos a coger una pieza por cada fruta, eso sí, intentando que sea del mismo color.

 

¿Qué torre es más grande? ¿Podemos mezclar los colores? ¿Podemos juntar las torres? Cada pregunta nos lleva a un contenido posterior, por ejemplo, la moda nos dirá la fruta de la que más tenemos, y el hecho de trabajar así evita errores posteriores como que un estudiante diga que la moda es 5, no la moda es la naranja. También nos facilita la percepción de la representación, que luego formalizaremos en formato de diagramas de barras, viendo que las barras han de estar separadas porque no podemos mezclar las frutas.

Para verlas mejor, vamos a guardar las frutas en los cajones de la nevera y vamos a quedarnos solo con las torres.

 Parece que la manzana la tendremos que partir en trozos para poderla probar todos, pero cada uno tenemos un plátano y una naranja. Las uvas tenemos dos racimos, así que iré colocando grano a grano en los cuatro platos que mamá dejó encima de la mesa. Los arándanos los podemos separar y repartirlos también.

Hemos podido trabajar los colectivos como "el racimo" de uvas o de arándanos, o hacer acciones de reparto separando las torres entre los cuatro miembros de la familia También los niños aportarán soluciones cuando no haya suficientes frutas para todos.

La fresa se la dejaré a María para su puré, y la naranja la haremos un zumo y daremos un traguito cada uno.

Y ahora me vais a decir que sí que he utilizado números, pues probablemente sí, he intentado que los niños trabajen su sentido numérico, pero ¿habéis visto alguna cifra?

Y sobre todo... escuchad a los niños. 

Escenarios literarios para aprender matemáticas (3)

Continuamos con la serie de lecturas que podemos utilizar con los niños para aprender matemáticas, iniciamos recordando la importancia del uso adecuado de las ilustraciones y los posibles materiales externos que utilicemos al leer el cuento.

Los cuentos de hoy nos ayudarán a la construcción de referentes de medida para distintas magnitudes.

INCH BY INCH por Leo Lionni

El protagonista en esta ocasión es un gusano que se dedica a medir distintos personajes. 

JUST A LITTLE BIT by Ann Tompert
Equilibrando la balanza con amigos entre un elefante y un ratón.

HOW TALL, HOW SHORT, HOW FAR AWAY by David Adler

Una historia sobre la medición, que va recomendando actividades a los niños/as para medir.

ME AND THE MEASURE OF THINGS by Joan Sweeney, Annette Cable (Illustrator)

A través de las ilustraciones podemos descubrir las distintas medidas para cada magnitud.

El contar con los dedos

 De manera constante cuando voy de visitas a las escuelas, se plantea la pertinencia o no de contar con los dedos, o mejor utilizar los dedos para contar.

Personalmente es algo que creo positivo, si están ahí las manos, por qué no tener un apoyo en el conteo igual que lo tenemos a veces en otros materiales que incorporamos. Incluso a veces utilizo elementos externos, como manos de gomaeva que ayudan a esta tarea de trabajar con el cardinal de un conjunto, o el conteo tanto hacia delante como hacia atrás.

Hoy me quiero acercar a un artículo y comentar algunas cosillas que encuentro en él.

Bender, A. & Beller, S. (2012). Nature and culture of finger counting: Diversity and representational effects of an embodied cognitive tool. Cognition, 124(2), 156-182. https://doi.org/10.1016/j.cognition.2012.05.005

Me voy a permitir citar de manera textual, traducidas al castellano, algunas frases y párrafos del documento que pueden ser interesantes para la reflexión sobre si debemos o no dejar que los niños cuenten con los dedos, partiendo como os decía de que a mí me gusta :-).

El objetivo del artículo es demostrar que "los dedos como herramienta para contar no solo están disponibles de forma natural, sino que también están codificados culturalmente, y de manera crucial".

Continuemos con sus bondades "permiten una sencilla asignación uno a uno", al tiempo que proporcionan "una representación externa que ayuda a aliviar memoria de trabajo, y su disposición asimétrica apoya la percepción inmediata (es decir, '' subitización '') de pequeños números".

Pero, cuál es la utilidad fundamental, quizá tener la "herramienta faltante" entre la "experiencia sensoriomotora y los conceptos matemáticos abstractos", sobre todo en aquellas "acciones entre el uso del dedo y el procesamiento de números en niños pequeños, para quienes la capacidad de discriminación de los dedos ha surgido como el mejor predictor del rendimiento en aritmética".

El trabajo nos invita a una reflexión desde el uso de una única mano, o la incorporación (y cómo) de la segunda. Desde la simetría anatómica, al trabajo con base 5, o el uso de los dedos de los pies, elementos con otros más que denotan un importante componente cultural en las investigaciones previas realizadas.

"El conteo de dedos se asemeja a las secuencias de conteo verbal y notaciones numéricas de otra manera: cada secuencia, ya sea basada en palabras, símbolos escritos o partes del cuerpo: constituye un sistema de numeración con propiedades".

Te animo a que leas de manera completa el artículo, para que de verdad veas que contar con los dedos tiene su sentido en la representación que los niños/as necesitan para aprender las secuencias numéricas, y en último término el conteo y la primera aproximación a las operaciones.

 

Palitos de regletas

Hoy vamos a jugar con los palitos de regletas, una entrada para que Norberto pueda mañana jugar con su mamá.

¿Qué necesitamos?

- Depresores de madera.

- Depresores de gomaeva del mismo tamaño y de colores.

- Pegamento y cúter.

- Rotulador permanente.

¿Para qué nos va a servir?

Para trabajar una aproximación a los números desde el conteo, y la práctica de la descomposición aditiva, ya que tanto "la composición como la descomposición de los números están vinculadas a situaciones de unir y separar objetos" (Zuñiga, 2015, p.88).

¿Cómo vamos a preparar el material?

Pegaremos los depresores de gomaeva sobre los de madera, es importante que los colores de los depresores sean igual que las regletas que tengamos.

Marcaremos cada una de las regletas sobre la gomaeva, y cortaremos dejando únicamente la madera.

Las claves del material:

- El color coincidirá con la regleta.

- Por la parte delantera colocaremos tantos puntos como sea el valor de la regleta de ese color.

Es importante que no todos los palitos sean iguales, es decir, si tenemos el número 5 por ejemplo, pues una veces colocaremos los puntos en hilera, otras tal como se colocan en un dado, ...

- Por la parte posterior colocaremos el número correspondiente a la cantidad de puntos.

Ahora... ¡a jugar!

Podemos apoyarnos tirando un dado (o dos), elegir el palito correspondiente al número que nos indica el resultado, e intentar conseguir ese número de múltiples formas como resultado de la suma.

El niño puede jugar de manera autónoma dado que el material facilita la posibilidad de comprobación. Recordemos la necesidad de formalizar después, dibujando o simbolizando lo obtenido, por ejemplo con lapiceros de colores sobre un papel en blanco.

Referencias bibliográficas:

Zúñiga, M. (2015). El aprendizaje de la descomposición aditiva en la educación infantil: una propuesta para niños y niñas de 5 a 6 años. Edma 0-6: Educación Matemática en la Infancia, 3(2), 84-113.

Escenarios literarios para aprender matemáticas (2)

Hoy la literatura nos acerca a la geometría...

Vamos a fabricar una capa muy colorida, con formas sin espacios ni superposiciones para que no se pase frío ¡que ahora hay que dejar las ventanas abiertas! y además no podemos desperdiciar materiales... #teselaciones

A Cloak For the Dreamer

También podemos jugar con el #tangram mientras leemos una historia, que nos va presentando diferentes criaturas, creo que recomendaré utilizar una mesa de luz para utilizar este cuento.

Grandfather Tang's Story

Los primeros diagramas de barras

Los contenidos estadísticos tradicionalmente se dejaron para el final de los temarios, y eso ha hecho que la formación estadística de base sea bastante pobre porque en muchos casos los estudiantes no han trabajado estos contenidos casi hasta llegar al bachillerato de ciencias sociales.

Sin embargo creo que son contenidos necesarios, sobre todo porque facilitan la interpretación de los datos, la comprensión de gráficos, o la capacidad de contrastar informaciones numéricas de distintas fuentes.

Iniciemos con un vídeo:

El vídeo nos facilita una situación sencilla, donde a través del conteo del color de los coches (variables cualitativas) se da lugar a lo que podría ser una tabla de frecuencias absolutas y desde ahí a un diagrama de barras. He de comentar que este diagrama sería más adecuado si tuviese las barras separadas, dado que estamos tratando con una variable discreta.

Para acompañar a esta situación, podemos repartir policubos de colores entre los niños/as y construir nuestros propios diagramas. 

Es importante que desde el inicio dejemos claro que a priori, casi cualquier información puede recogerse en una tabla y por tanto un diagrama, pero que no siempre facilitan información y que hemos de ser críticos en elegir aquellos diagramas que sí nos facilitan información y por tanto interpretaciones.

Esta situación puede enriquecerse con materiales más cercanos a los niños. En el vídeo que enlazo a continuación la actividad estadística se plantea en dos partes, primero una clasificación y más tarde la representación en un tablero que simula el desarrollo de un sistema de coordenadas. Este trabajo es muy rico, primero por la cercanía del material y segundo por las discusiones que podemos entablar entre los niños tanto en la actividad de representación como en la de clasificación.

Fuente: https://earlymath.erikson.edu/shoe-graph-3-5-year-old-childrens-education-programs-and-activities/

El único error que creo que tenemos por aquí es que los niños estén quietos en una zona del tablero, quizá está condicionado por el tamaño de la clase.

Escenarios literarios para aprender matemáticas (1)

 Hace ya algunos años que vengo trabajando en adaptar historias infantiles para aprender matemáticas. Acercar ambas disciplinas literatura y matemáticas, me ha descubierto enormes posibilidades para captar la atención de los más pequeños y hacerles aún más partícipes en su secuencia de aprendizaje.

Los estudiantes a los que he impartido clase en los últimos cursos han realizado trabajos didácticos sustentados en los cuentos clásicos, que me han descubierto sobre todo materiales que incorporar a las escenas de los cuentos. Pero ¿qué decir de los cuentos que ya se escribieron para aprender matemáticas? Hay muchos más de los que pensaba, así que mi entrada de hoy es para acercaros a unos cuantos de ellos, que por suerte alguien nos los cuenta en formato vídeo.

Empiezo por "Pigs Will Be Pigs" de Amy Axelrod:

Me parece un formato muy interesante, los contenidos matemáticos se van incorporando en las secuencias de la historia, dando pie a que el docente pueda diseñar problemas a partir de los datos y situaciones que se van mostrando. Al final tiene un resumen, que puede facilitar incorporar materiales manipulativos, y sobre todo la reflexión de lo que ha sucedido en la historia.

La segunda historia "Anno 's Mysterious Multiplying Jar", de Masaichiro y Mitsumasa Anno.

Es una historia fantástica que podemos acompañar con representaciones en formato de árbol, para trabajar después con conceptos relacionados con el factorial.

También al final tiene un pequeño resumen.

El tercero "Jim and the Beanstalk" de Raymond Briggs.

Juan y las habichuelas mágicas, este cuento no fue creado para aprender contenidos matemáticos, pero podemos recrear situaciones de medida a partir de la lectura y las ilustraciones que el libro nos facilita. De utilidad para la búsqueda de referentes de medida, que nos permitan relacionar qué sucede en el mundo de Juan y en el mundo del gigante.

El último por hoy será "One Hundred Ways to Get to 100", de Rob Bolster.

Distintas ilustraciones nos van llevando a "construir" cien, primero desde el conteo, y poco a poco introduciendo una estructura multiplicativa a partir del agrupamiento en grupos de elementos iguales.

"Crash! Boom! A Math Tale", de Robie H. Harris.

El elefante quiere construir una torre de bloques tan alta como él. Unas ilustraciones preciosas desde un cuento donde lo fundamental no es el texto (escaso), sino las posibilidades que nos da para que los niños desarrollen situaciones similares para dar lugar a referentes de medida desde la construcción con distintos objetos.

CONTINUARÁ...

Ositos "cosedores"

Hoy me acerco a un material que me ha parecido precioso, por su sencillez y la gran cantidad de potencial que podemos sacarle en edades tempranas. Será mi regalo para la pequeña Clara.

Bote con 50 siluetas de ositos de 4x5 cm, en plástico de 5 colores. 

Thready Bears (by Anthony Peters)

Comienzo por una actividad como es el COSIDO de los ositos con el cordón, una tarea que ayudará a la motricidad fina de los niños.

La segunda utilidad con los ositos es la CLASIFICACIÓN:

Podemos considerar esta tarea de clasificación como un saber lógico, que se integrará en un conjunto de saberes junto a la seriación o enumeración que preparará al niño para un aprendizaje posterior del número natural y las formas geométricas; “clasificar supone abstraer de los objetos determinados  atributos  esenciales  que  los  definen”  (Chamorro,  2005, p.  126). Además  la clasificación  puede  considerarse  también  de  utilidad  para  otras  áreas  del  currículo  en  estas primeras  edades;  como  la  geometría,  al  establecer  clasificaciones  disjuntas  de  rectángulos  y cuadrados (Clements y Sarama, 2011). La  tarea  de  clasificar  “implica  la  aplicación  o  descubrimiento  de  una  regularidad, clasificatoria” (Ruesga, Giménez y Orozco, 2005, p. 130), que dadas las características de la etapa se suele poner en escena a través del juego. Esta tarea de clasificar permanece desde niños hasta adultos,  dado  que  mantener  una  organización  en  las  cosas  o  situaciones  nos  facilita  su comprensión. 

Fuente: Pizarro y Arteaga (2019) 

Dos sentidos a la clasificación: 

- Por color

- Por número de puntos

Además se puede dar lugar a una clasificación doble, cuando el niño por ejemplo tiene ya seleccionados los ositos por color pedirle que ahora los clasifique por número de puntos (en este caso, a lo mejor es interesante tener más de un bote).

La tercera utilidad es la SERIACIÓN, podemos construir series por color a partir de patrones incompletos, será tan sencillo como darles de manera combinada tiras de colores, como esta:

O esta:

https://mathsbot.com/manipulatives/tenFrame

 En ambos casos podremos observar cuál es la opción del niño ante la repetición del patrón (de orden 3 o 2). Lo importante será que escuchemos sus razonamientos, para ayudarle a comprender la naturaleza del patrón. En ambas, podría continuar por amarillo o rojo dependiendo su observación/comprensión del patrón.

La cuarta utilidad sería el trabajo NUMÉRICO, con número hasta el 5, que nos facilitará el trabajo con la subitización o el conteo de los puntos que cada osito tiene. Incluso puede ser interesante un primer abordaje de la suma, trabajando con dos ositos a la vez.

Lecturas para aprender a contar

Para enseñar matemáticas a los más pequeños de la casa siempre me ha encantado utilizar cuentos con ilustraciones, y aquí quiero hacer una recopilación de algunos de ellos; además creo que ahora pueden venirle bien a mi amiga Noemí que anda recopilando lecturas...

Ten Black Dots

Anno’s Counting Book

 

Ten Apples Up On Top

10 Little Rubber Ducks

Counting Crocodiles

Fish Eyes

1,2,3 To the zoo a counting book

Los problemas de multiplicación y su representación

Este año he tenido la oportunidad de tener reuniones con maestros en activo en distintos claustros, y ha sido una oportunidad maravillosa para mí, tanto para aprender como para reflexionar sobre algunos de los obstáculos de aprendizaje que podemos mejorar con sencillas aportaciones desde la didáctica.

Hoy me voy a centrar en uno de los contenidos de esas observaciones: la multiplicación; pero no desde el algoritmo al que dedicaré en breve otra entrada, sino desde los problemas.

Empecemos por situar la conversación desde el análisis del material que tenían delante:

- ¿Qué tipo de problemas utilizáis para trabajar la multiplicación?
- Bueno, los que vienen en el libro.
- ¿Os habéis fijado que no todos son iguales?
- Sí, los datos cambian, y la forma de preguntar.
- Pero no solo eso, sino el tratamiento de la operación y las posibles formas de representar.
- ¿Ah sí, en esta operación también?

Bien, pues, la situación ante la multiplicación es que además de estar anclada en la resolución de los problemas que aparecen en los libros de texto, tiene el lastre de las tablas de multiplicar, y parte de su enseñanza se centra en esa memorización sin ningún tipo de comprensión. Pero no entremos en valoraciones, sino en los tipos de problemas que podemos trabajar inicialmente con los chicos que están situando la multiplicación.

Los problemas de multiplicación se sitúan en lo que llamamos problemas de estructura multiplicativa, y ahí colocamos tanto los que implican el uso de la multiplicación como los de división. Vamos a intentar separar ambos tipos.

De manera general, los tipos de estos problemas de estructura multiplicativa según Vergnaud son:

I) Isomorfismo de medidas, problemas cuya estructura consiste en una proporción entre dos espacios de medidas M1 y M2; II) Un solo espacio de medidas, problemas en los que se establece una correspondencia entre dos cantidades y un operador escalar designado por la palabra veces, y III) Producto de medidas, problemas cuya estructura consiste en la composición cartesiana de dos espacios de medidas M1 y M2 en un tercero, M3.

Fuente: Ivars y Fernández (2016, p. 11)

En el primer tipo, isomorfismo de medidas, encontramos problemas que establecen una relación entre cuatro cantidades, tres de ellas conocidas.

Ejemplo 1.

Si un kilo de naranjas me cuesta 3 euros, ¿cuánto me cuestan 5 kilos?

La situación inicial sería algo así, y nosotros tenemos que repetir esta situación que relaciona 1 y 3, con 5 y la cantidad desconocida.

Tendríamos una situación en forma de tabla similar a:

Ejemplo 2. 

En el árbol que hay frente a mi ventana hay 2 nidos. Cada uno tiene 7 huevos. ¿Cuántos huevos hay  en total?

La representación de la situación sería ahora algo así:

Como vemos pueden representarse por un esquema análogo, que relaciona las cuatro cantidades con las que el problema trabaja.

Este tipo de problemas puede variar su dificultad dependiendo su utilizamos cantidades discretas o continuas, y si los números son naturales, enteros o decimales. Claramente, si estamos introduciendo la operación el objetivo serían números naturales y cantidades discretas.

Los problemas de producto de medida "consisten en una relación ternaria entre tres cantidades, de las cuales, una es el producto de las otras dos, tanto en el plano numérico como el plano dimensional" (Vergnaud, 1997, p. 211).

Ejemplo 3.

Se pueden combinar faldas y camisas para vestirnos. Si tengo 3 camisas y dos faldas, ¿de cuántas formas puedo vestirme?

Para trabajar estos problemas, me gusta utilizar la representación en forma de árbol para su resolución:

 

No quiero terminar sin hacer una recomendación, que espero tener tiempo de desarrollar más en profundidad en una entrada posterior y es la importancia y/o influencia de la estructura aditiva en la multiplicativa, que la investigación de Fernández y Llinares (2011), desarrolla a partir de una experiencia de resolución de problemas con estudiantes de primaria.

Los problemas de un solo espacio de medidas, son problemas donde se establece una comparación entre dos cantidades, "una de estas cantidades actúa como referente y la otra como comparado y la comparación entre ambas se realiza mediante un escalar" (Ivars y Fernández, 2015, p. 329). Será importante tomar conciencia de que dependiendo cuál sea la cantidad ausente, el problema puede ser más o menos asequible dependiendo el momento de aprendizaje del estudiante. 

Ejemplo 4.

A Carmina su abuelo le da 3 euros cada semana. Su hermana María recibe 2 veces más. ¿Cuánto dinero recibe María cada semana?

La representación de este problema podría ser algo así:

Si he dejado para el final este tipo de problemas, precisamente ha sido porque son la tipología que cuando visito aulas se producen un mayor número de obstáculos precisamente por la traducción que se hace del lenguaje natural.

El primer tipo de obstáculo tiene lugar cuando no utilizamos representación, y es lo que se llama "error de inversión". Este tipo de error se produce al confundir en la traducción el lenguaje natural al algebraico. Si bien es verdad en este tipo de problemas sencillos con cantidades pequeñas no hay mucho lugar a confusión, aparecen por ejemplo en problemas "Hay cuatro veces más niños que niñas en una guardería", donde las interpretaciones erróneas (Laserna, Arnau y González, 2014, p. 105) que se pueden hacer en esta situación son:

4 * NIÑOS = NIÑAS 

NIÑAS = 4 * NIÑOS 

NIÑOS * 4 = NIÑAS 

NIÑAS = NIÑOS * 4 

NIÑOS = NIÑAS / 4 

NIÑAS / 4 = NIÑOS 

NIÑAS / NIÑOS = 4 

4 = NIÑAS / NIÑOS

El segundo tipo de obstáculo proviene de la traducción literal del enunciado, que podría dar lugar a una representación así:

Esta interpretación surge de añadir la estructura multiplicativa a la aditiva, e interpretar "dos veces más" no como el doble sino como un "añadido" a la cantidad inicial.

Por lo tanto, en este último tipo de problemas hemos de ser mucho más conscientes en su enseñanza de los posibles obstáculos que pueden tener lugar.

Referencias bibliográficas:

Ivars, P. & Fernández, C. (2016). Problemas de estructura multiplicativa: Evolución de niveles de éxito y estrategias en estudiantes de 6 a 12 años. Educación matemática, 28(1), 9-38. http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-58262016000100009

Fernández, C. y Llinares, S. (2011). Del aditivo a la estructura multiplicativa: El efecto de dos variables en el desarrollo del razonamiento proporcional. Journal for the Study of Education and Development, 34(1), 67-80. https://doi.org/10.1174/021037011794390111

Ivars, P. y Fernández, C. (2015). Evolución de los niveles de éxito en la resolución de problemas de estructura multiplicativa en Educación Primaria. En C. Fernández, M. Molina y N. Planas (eds.), Investigación en Educación Matemática XIX (pp. 327-334). Alicante: SEIEM. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5227411

Laserna, B., Arnau, D. y González, J.A. (2014). La coincidencia del orden de las palabras como un modelo explicativo al error de inversión. En J.L.González, J.A. Fernández-Plaza, E. Castro-Rodríguez, M.T. Sánchez, C. Fernández, J.L. Lupiáñez y  L. Puig (Eds.), Investigaciones en Pensamiento Numérico y Algebraico e Historia de las Matemáticas y Educación Matemática - 2014 (pp. 101-108). Málaga: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM). http://funes.uniandes.edu.co/5350/

Vergnaud, G. (1997). El niño, las matemáticas y la realidad. México: Trillas.

¿Dónde ponemos a la regla de tres?

No tenemos más que preguntarle a google por la "regla de tres" para que en unos pocos segundos, nos devuelva miles de resultados.
Esto es un reflejo de su uso en "sociedad", y es que más de una vez cuando en una de mis clases en la universidad he manifestado mi aversión a semejante uso de los números más de un estudiante me ha señalado, que lo consideraba lo único útil de las matemáticas, momento en el cual yo he tenido ganas de esconderme cuál avestruz debajo de la mesa.

Pero mi entrada de hoy no pretende otra cosa que recopilar artículos de revistas científicas, de los que señalaré algún que otro fragmento, para darnos cuenta que ese multiplicar en cruz no puede llevarnos a nada más que un vacío de comprensión del verdadero significado de la proporcionalidad.

Quiero empezar mi recorrido de lecturas, por un artículo sencillo, de agradable lectura que nos acerca a distintos enfoques de esta regla y a los personajes que los escribieron.

Obando Zapata, G. (2018). Regla de tres simple directa: avatares de un algoritmo. Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática, 13(17), 113-124.

Y a la mención que hace en sus conclusiones, "cuando esta enseñanza se hace sin el reconocimiento de los fundamentos teóricos que le dan su valor matemático, es una regla vacía, carente de significado que se aplica de forma indistinta a cualquier situación de cuatro términos, donde uno de ellos es desconocido, sin importar si las formas de covariación entre tales cantidades permite su aplicación. Como Leonardo lo muestra, es fundamental comprender el método, pero también su fundamento".

Gairín Sallán, J. M., & Escolano Vizcarra, R. (2009). Proporcionalidad aritmética: buscando alternativas a la enseñanza tradicional. Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, 62, 35-48.

Y es que en nuestros libros de texto al llegar al apartado de proporcionalidad, la regla de tres parece la protagonista de sus páginas, "la tendencia general de los libros de texto es la de presentar la técnica de la regla de tres mediante un ejemplo y, seguidamente, detallar la técnica con carácter general. Y todos los textos consultados siguen un mismo esquema: primero se aborda la regla de tres simple y directa, después la regla de tres simple e inversa y, finalmente, la regla de tres compuesta". 

Mochón Cohen, S. (2012). Enseñanza del razonamiento proporcional y alternativas para el manejo de la regla de tres. Educación matemática, 24(1), 133-157. 

Ante uno de esos dibujitos de las flechas cruzadas tras la resolución de un problema señala "Las soluciones de este tipo son aplicaciones automáticas de una regla y por lo cual no se puede afirmar algo sobre si el alumno identifica de manera correcta el tipo de problema o si comprende su resultado. Sin embargo, la aplicación de esta regla sin una base sólida sobre las características de los problemas de proporcionalidad puede llevar frecuentemente a errores".

Gómez, B. (2006). Los ritos en la enseñanza de la regla de tres. En A. Maz, M. Torralbo y L. Rico (Coords.), José Mariano Vallejo, el matemático ilustrado. Una mirada desde la Educación Matemática (pp. 49-69). Universidad de Córdoba.

Nos facilita un transitar histórico por su enseñanza, que nos sitúa sobre lo que está pasando a día de hoy, indicando que "en la actualidad, se ha recuperado el enfoque de la proporción con el auxilio del álgebra, pero de dos nuevas maneras: una es una variante del método de reducción a la unidad que utiliza la constante de proporcionalidad o valor unitario".

Gairín, J. M., & Oller, A. M. (2012). Análisis histórico sobre la enseñanza de la razón y la proporción. En A. Estepa, Á. Contreras, J. Deulofeu, M. C. Penalva, F. J. García y L. Ordóñez (Eds.), Investigación en Educación Matemática XVI (pp. 249 - 259). Jaén: SEIEM

En la descripción de cómo un estudiante resuelve un ejercicio, señalan "el uso de la regla de tres eclipsa los conocimientos anteriores sobre los significados de las operaciones en las estructuras multiplicativas de los naturales y los racionales positivos".

Y es que para terminar hasta en la novela aparece, y es que hasta como título de novela la encontramos, cuando el libro de Antonio Gala, que lleva por título "La regla de tres. Donde el amor se atreve a decir todos sus nombres", podemos leer en su contraportada "ésta es la regla de tres que acaso resuelva los interrogantes de Octavio o acaso le plantee un problema más grave. Porque quien en esa regla multiplica ha de estar dispuesto después a dividir".

¿Cómo introducir la "mitad"?

El concepto de mitad lo utilizamos de manera constante los adultos, pero esta semana gracias a Mercedes me he puesto a reflexionar sobre ¿cómo hemos de acercar este concepto a los niños?
En la entrada de hoy intentaré aportar una serie de ideas que pueden ser de utilidad para trabajar este concepto*.
Iniciamos nuestra reflexión con una imagen y un diálogo:

- ¿Qué distancia separa a la niña de su perro?
- La varilla verde.
- Si quiero caminar hasta mitad, ¿hasta dónde debo caminar?

Sería suficiente coger la varilla de plástico doblarla dejando dos partes iguales, para saber cuál es la "mitad" de la longitud.

Como adultos lo hemos visto sencillo, pero ¿sería igual para los niños? Veamos una segunda imagen.

La distancia que separa a la niña de su perro ahora son unas bolitas todas iguales de tamaño, exactamente ocho bolitas, y ¿cuál es la mitad? Necesitaremos dos pequeños recipientes que nos facilite colocar la misma cantidad de bolitas en cada uno de ellos.

¿Cuál es la mitad de la cantidad de bolitas? Son cuatro, y además las dos mitades tienen que ser iguales.

Ahora me lo planteo, si quiero trabajar el concepto "mitad" creo que es mejor trabajar con materiales discretos (bolas, perlas, alubias, policubos, ...) y tener dos recipientes (cuencos, tapones, botes, ...) donde colocar nuestros objetos y comprobar que la mitad da lugar a dos conjuntos exactamente iguales, que unidos es el conjunto total de elementos original.

Lo he forzado para tener un número par que diese lugar a dos mitades iguales, pero ¿qué sucedería si tengo 9 bolitas por ejemplo? En este caso los materiales discretos no facilitan la representación de la mitad y por tanto, sería más adecuado quedarnos con la varilla verde y cortarla con las tijeras.

Ahora necesitamos un lapicero, unas tijeras y unas formas geométricas (yo voy a utilizar los bloques lógicos).

Los niños podrán dibujar las formas en el papel, y después recortar. El trabajo sería en este orden: cuadrado, rectángulo, círculo y triángulo. Al doblar el papel por la "mitad" podemos colorear cada mitad de un color. Veremos que hay formas sencillas de ver como el cuadrado y el círculo que si doblamos, casi por cualquier parte da lugar a la mitad (dos figuras exactamente iguales), sin embargo, no siempre sucede con el rectángulo y aún menos con el triángulo. Esta experimentación puede dar lugar a un trabajo de exploración de propiedades de las formas, sus elementos, y sus características diferenciales.

En este sentido, la noción de mitad es desde la percepción de ver dos partes iguales, igual que antes con las bolitas podíamos comprobar, ahora el plegado de papel nos facilita esa comprobación pero no es ya tan evidente para los niños.

¿Qué más aproximaciones a la "mitad" podemos hacer?

Tengo varios botes, con líquidos u otros elementos (harina, arena, arroz, ...) que puedo llenar hasta la mitad, puedo ayudarme con jarras medidoras que incluso tienen marcas que nos ayudan a comprobar, cómo una cantidad, la puedo "repartir" en dos envases iguales colocando la misma cantidad en cada uno de ellos. Una vez trasvasada puedo pegar los pequeños envases (es importante que sean exactamente iguales) para comprobar que tengo dos mitades iguales.

Para terminar podemos trabajar con objetos cotidianos de distinta naturaleza:

- Vamos a comer una mandarina y repartir los gajos en dos mitades, para comer una mitad ahora y otra más tarde.

- Cortamos una manzana en dos partes iguales, una para mi hermano y otra para mí.

- Tomaremos la mitad de la leche que hay en la jarra cada uno.

- Partiremos la tableta de chocolate en onzas, y serán la mitad para cada uno.

* Utilizo materiales muy de "andar por casa" porque estamos en tiempos de confinamiento, y no podemos utilizar cosas del colegio.