"Consul, el mono culto" un campeón de la multiplicación

Esta mañana se celebró #matesenlacalle, una actividad en que la Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas "Emma Castellnuovo" saca la parte más rica del aprendizaje matemático a la calle. Hoy ha sido una jornada fría si nos referimos a lo meteorológico pero calentita desde la cantidad de familias que han participado.

Entre estas mesas y gracias a Mar y Dolores, he conocido a Consul, el mono culto (Consul, the educated monkey), ¿os lo presento?

Nuestra actividad era un tablero del 100, los niños tenían tres dados. Los tiraban y elegían dos para multiplicar, y el tercero podían sumarlo o restarlo a la cantidad anterior. 

Ese resultado lo buscaban en el tablero, le dábamos la vuelta y aparecía una palabra o un comodín. El objetivo era completar "MATES EN LA CALLE", en cuatro tiradas.

Fuente de la imagen: Wikipedia

Los dados no han sido dados cúbicos, sino que hemos aprovechado un juego como el que aparece en la imagen para garantizar la posibilidad de obtener números en todo el tablero. 

Pero, ¿dónde aparece Consul en esta actividad? Pues como vemos el objetivo de la actividad es el cálculo mental, unido a la decisión de cómo combinar los números para hacer la operación y que el resultado no estuviese ya destapado, pero por nuestra mesa pasaban niños y niñas de todas las edades, unos con más seguridad que otros en la tarea de multiplicar, y entonces ¿por qué no brindarles una ayuda con cierto toque de magia?

Entonces, aparece nuestro mono, colocamos sus pies sobre los números de los dos multiplicadores y... ¡aparece el resultado en sus manos!

Como vemos en la imagen anterior, los dados nos facilitan el 2 y 3, y el mono dice "6". Si bien es cierto, que no ahondamos en el significado de la multiplicación, sino solo en el resultado, más o menos como la calculadora, pero en el contexto en que estábamos de un día de juego y diversión, nuestro mono sabio nos ha aportado un recurso que ha gustado a grandes y pequeños.

Pero vamos a hablar un poco de este juguete que no es nada moderno, y eso lo veíamos ya desde ver que está fabricado con hojalata y hoy día es difícil encontrar este tipo de material en los juguetes.

Se trata de una curiosa calculadora mecánica que es una réplica de un juguete de hojalata original norteamericano de 1908. La historia nos dice que,

un mono artista llamado Cónsul, adiestrado en Gran Bretaña, llegó a Estados Unidos en 1909. Al parecer, no fue el primer mono adiestrado en recibir el nombre de Cónsul, pero sí el que recibió mayor publicidad. Actuó en espectáculos de vodevil por todo el país (...) en 1915, William Henry Robertson, dibujante de NCR, solicitó dos patentes. La primera, para un dispositivo de cálculo, buscaba un método rápido y sencillo para obtener resultados en una tabla. La segunda, para un juguete que utilizaba el mismo mecanismo para estimular el interés de los niños por el estudio de los números. En esta segunda patente, el mecanismo adoptaba la forma de un mono.

Fuente: https://americanhistory.si.edu/explore/stories/consul-educated-monkey-or-inventions-william-h-robertson

Los entresijos del mecanismo son

Cada pierna forma una sola pieza con el brazo superior del mismo lado. Tiene tres puntos de pivote: en el pie, en la pajarita y en el codo. Las piezas del antebrazo están conectadas entre sí y a los pivotes del codo. Un aspecto importante es que las distancias desde el codo hasta los demás pivotes son todas iguales. En el diagrama a continuación, esto significa que BA, BC y BF tienen la misma longitud, al igual que DE, DC y DF en el otro lado.

Ignoraré la barra deslizante vertical que sólo sirve para proporcionar una ventana consistente hacia la mesa y para mantener la cabeza del Cónsul erguida.

Los ángulos marcados con α (BAC, ACB, CED y DCE) son constantes, pero los ángulos marcados con β (CAE y AEC) varían según la ubicación de los pies del Cónsul. Utilizando triángulos isósceles y el rombo BFDC, se puede trazar un círculo alrededor de los ángulos de la figura, como se muestra en el siguiente diagrama.

Como resultado, el ángulo constante α también se encuentra en FAE y AEF, lo que hace que el triángulo AEF sea similar al triángulo formado por los catetos. Existen también otros triángulos isósceles con un ángulo base β.

El ángulo constante α es de 45° en el Cónsul original, pero la demostración funciona para cualquier ángulo. Al mover solo un pie, el puntero F se mueve en línea recta en diagonal con un ángulo ±α. Esto depende en gran medida de que los enlaces tengan la misma longitud, y si alguna parte difiere en longitud, el movimiento sería curvo y la tabla de multiplicar se distorsionaría.

                    Fuente: https://www.jaapsch.net/mechcalc/consul.htm

 Encontrarás un simulador en https://www.jaapsch.net/mechcalc/consulsim.htm

Algunas de las instrucciones originales podemos verlas en las siguientes imágenes:

Y por último, ¿qué os parecería probar el juego con Consul? Pincha sobre la imagen y llegarás a un simulador, ¿nos cuentas qué te ha parecido?

Fuente: https://en.etudes.ru/models/educated-monkey/

Las tablas de multiplicar como obstáculo

Cada vez que me preguntan en un colegio por cómo enseñar las tablas de multiplicar, vuelvo a tener la misma sensación, esa que un día viví como mamá cuando Carmen y Juan tuvieron que memorizar aquellas tablas tras colorearlas, cuando ellos ya sabían multiplicar, o mejor sabían lo que era multiplicar, y eso no era memorizar aquellas tablas.

Y aquella sensación no fue agradable entonces, y aún menos lo es ahora.

En ocasiones previas en el blog ya he escrito sobre la multiplicación, es sencillo localizar las entradas desde el listado de palabras clave que encontrarás en el margen derecho, pero... ¿por qué acudo de nuevo a este tema? Pues precisamente por eso, porque me siguen preguntando por las tablas, parece que poco ha cambiado de manera general en los últimos años (Figura 1), y por la importancia que supone para el futuro el aprendizaje de la multiplicación.

Figura 1

Tablas de multiplicar

Nota. Hilprecht (1906 , citado en Bernard et al., 2014, p.32).

Partimos de que la multiplicación conviene introducirla como suma reiterada. Desde objetos cotidianos, con una buena representación, alternando el material manipulativo con el "dibujo" de la situación, hecho por los niños/as o la maestra/o, podemos hacer ver las distintas formas que tenemos de representar situaciones. Desde contextos reales, cercanos al niño, y que le resulte sencillo de dibujar o representar.

Insisto, aún a riesgo de ser pesada, en el asunto de la representación. Esta representación además es fundamental que cuestione el significado de conjuntos iguales que se repiten, o que no son iguales (Figura 2).

Figura 2

Representaciones para iniciar la multiplicación

Nota. https://www.ncetm.org.uk/classroom-resources/cp-year-2-unit-5-introduction-to-multiplication/

El lenguaje que acompañe estas primeras representaciones, al igual que la solicitud de acción al niño resultarán fundamentales para que dé sentido a lo que está haciendo antes de pasar a utilizar símbolos numéricos.

Las consignas para dar lugar a su acción pueden ser del tipo:

- Tenemos X objetos, ¿puedo hacer grupos iguales? 

- ¿Son los conjuntos de la imagen iguales?

- ¿Cuántos objetos hay en total? 

- ¿Cuántos grupos de objetos hay en total? ¿Cuántos objetos en cada grupo? (...)

Poco a poco podremos pasar a expresiones, dando lugar a que el niño relate el porqué de su respuesta a la pregunta:

- ¿Qué tenemos en la imagen "cuatro grupos de tres" o "tres grupos de cuatro"?

El paso así a expresar, la situación de la Figura 2 (grupos iguales) como 3+3+3+3, nos llevará a la lectura como "cuatro grupos de tres", y escribiremos como 4x3.

Yo lo estoy relatando demasiado deprisa, pero esto son semanas de trabajo, de juego, de dar sentido a la acción, de utilizar materiales cotidianos para representar y dar respuestas a situaciones concretas.

Y aquí viene el siguiente paso, y alguien nos diría cosas así como "para que tenga fluidez en el cálculo ahora es cuando hay que aprender las tablas de multiplicar". Así que, hagamos un ejercicio de reflexión. La expresión "cuatro grupos de tres", lo podremos leer como "cuatro veces tres", o 4x3, ¿y esto qué es la tabla del cuatro o del tres? (Figura 3).

Figura 3

Tablas del 3 y del 4

Nota. https://www.tablasdemultiplicar.com/

Si leemos la primera tabla, más allá del 3 por 1, o 3 por 7,... por ejemplo, vamos a pararnos en la lectura de la tabla tal como hemos hecho desde la construcción de grupos. Nuestra expresión está en la tabla del 4. ¿Leemos la tabla del cuatro?

4 veces 1, es cuatro

4 veces 2, es ocho

4 veces 3, es doce

4 veces 4, es dieciséis

(...)

Si nos damos cuenta, esta interpretación de la repetición no es la que habitualmente se hace con las tablas, el cuatro en este caso es el número de veces que se repite cada número, no "el número que se repite". 

La consigna de la maestra/o debe ir también dirigida a que el niño descubra que el resultado de "cuatro veces tres" coincide con "tres veces cuatro". La expresión verbal resultará fundamental y es que la investigación previa muestra hallazgos que "sugieren que las tablas de multiplicar se recuperan a través del procesamiento verbal durante el cálculo de la multiplicación incluso en la edad adulta" (Qu et al., 2021).

Pero ¿es necesario memorizar la tabla? ¿Realmente tiene algún sentido? Pues parto de que puede ser una manera de descontextualizar el aprendizaje y causar obstáculos a posteriori (De Visscher & Noël, 2014).

Las fases dadas por Baroody (Figura 4) para el dominio de hechos numéricos básicos, señalan la necesidad de representar y conectar.

Figura 4

Fases para el dominio de hechos numéricos 

Nota. Baroody citado en Kling & Bay-Williams, 2015, p.551.

Así, hemos de trabajar con una serie de estrategias que faciliten la práctica, respetando el ritmo de cada niño/a, y utilizando distintos materiales y registros de representación que se adecuen al contexto de la operación, recordemos que es importante combinar la resolución de problemas con la práctica de la operación. Siguiendo las recomendación de Kling y Bay-Williams (2015).

- Representación en forma de matriz, que nos muestre distintas ordenaciones de manera que se facilite el agrupamiento por filas y columnas.

- Representaciones en forma de matriz con cuadrados: 2x2, 3x3, ...

- Sumar o restar grupos: "9 × 6, así que pienso "10× 6 = 60" y resto un grupo de 6 para obtener 54".

- Trabajar con la mitad y duplicar: "6 × 8, así que pienso "3 × 8 = 24" y lo doblo para obtener 48".

- Uso de productos cuadrados cercanos: "7 × 6. Uso 6 × 6 = 36 y sumo un 6 más para obtener 42".

- Descomponer uno de los factores: "Divida uno de los factores en una suma conveniente de hechos conocidos, encuentre los dos hechos conocidos y combine los productos. Para hacer 7 x 6. Divido el 7 en 2 y 5, porque sé 2 × 6 y 5 × 6. Luego sumo 12 y 30 para obtener 42".

14 + 7 = 14 + (6 + 1) = (14 + 6) + 1 = 20 + 1.  

7. "Los estudiantes pueden usar operaciones de 2, 5 y 10 para resolver operaciones cercanas, como 3, 4, 6 y 9. Por ejemplo, los 6 hechos (6 × n) se pueden encontrar comenzando con cinco grupos del otro factor, más un grupo más de ese factor (5 × n + n)".

Otras prácticas ya mencionadas en el blog de manera previa, puede ser el trabajo con papel cuadriculado para representar en forma matricial distintas operaciones. Juegos cuyo resultado conlleve a la realización de la operación. 

En el documento de Flowers y Rubenstein (2010) puedes encontrar una tabla al final que te puede ayudar para desarrollar algunas prácticas que te ayuden para acompañar a los niños/as.

Referencias bibliográficas:

Bernard, A., Proust, C., & Ross, M. (2014). Mathematics education in antiquity. In A. Karp & G. Schubring (Eds.) Handbook on the history of mathematics education (pp. 27-53). Springer.

De Visscher, A., & Noël, M.P. (2014). The detrimental effect of interference in multiplication facts storing: Typical development and individual differences. Journal of Experimental Psychology: General, 143(6), 2380–2400. https://doi.org/10.1037/xge0000029

Flowers, J.M., & Rubenstein, R.N. (2010). Multiplication fact fluency using doubles. MatheMatics teaching in the Middle school, 16(5), 296-301.

Kling, G., & Bay-Williams, J.M. (2015). Teaching Children Mathematics, 21(9), 548-559.

Maki, K.E., Zaslofksy, A.F., Knight, S., Ebbesmeyer, A.M., & Chelmo-Boatman, A. (2021). Intervening with Multiplication Fact Difficulties: Examining the Utility of the Instructional Hierarchy to Target Interventions. J Behav Educ, 30, 534–558. https://doi.org/10.1007/s10864-020-09388-0

Qu, C., Szkudlarek, E., & Brannon, E. M. (2021). Approximate multiplication in young children prior to multiplication instruction. Journal of experimental child psychology, 207, 105116. https://doi.org/10.1016/j.jecp.2021.105116

Los problemas de multiplicación y su representación

Este año he tenido la oportunidad de tener reuniones con maestros en activo en distintos claustros, y ha sido una oportunidad maravillosa para mí, tanto para aprender como para reflexionar sobre algunos de los obstáculos de aprendizaje que podemos mejorar con sencillas aportaciones desde la didáctica.

Hoy me voy a centrar en uno de los contenidos de esas observaciones: la multiplicación; pero no desde el algoritmo al que dedicaré en breve otra entrada, sino desde los problemas.

Empecemos por situar la conversación desde el análisis del material que tenían delante:

- ¿Qué tipo de problemas utilizáis para trabajar la multiplicación?
- Bueno, los que vienen en el libro.
- ¿Os habéis fijado que no todos son iguales?
- Sí, los datos cambian, y la forma de preguntar.
- Pero no solo eso, sino el tratamiento de la operación y las posibles formas de representar.
- ¿Ah sí, en esta operación también?

Bien, pues, la situación ante la multiplicación es que además de estar anclada en la resolución de los problemas que aparecen en los libros de texto, tiene el lastre de las tablas de multiplicar, y parte de su enseñanza se centra en esa memorización sin ningún tipo de comprensión. Pero no entremos en valoraciones, sino en los tipos de problemas que podemos trabajar inicialmente con los chicos que están situando la multiplicación.

Los problemas de multiplicación se sitúan en lo que llamamos problemas de estructura multiplicativa, y ahí colocamos tanto los que implican el uso de la multiplicación como los de división. Vamos a intentar separar ambos tipos.

De manera general, los tipos de estos problemas de estructura multiplicativa según Vergnaud son:

I) Isomorfismo de medidas, problemas cuya estructura consiste en una proporción entre dos espacios de medidas M1 y M2; II) Un solo espacio de medidas, problemas en los que se establece una correspondencia entre dos cantidades y un operador escalar designado por la palabra veces, y III) Producto de medidas, problemas cuya estructura consiste en la composición cartesiana de dos espacios de medidas M1 y M2 en un tercero, M3.

Fuente: Ivars y Fernández (2016, p. 11)

En el primer tipo, isomorfismo de medidas, encontramos problemas que establecen una relación entre cuatro cantidades, tres de ellas conocidas.

Ejemplo 1.

Si un kilo de naranjas me cuesta 3 euros, ¿cuánto me cuestan 5 kilos?

La situación inicial sería algo así, y nosotros tenemos que repetir esta situación que relaciona 1 y 3, con 5 y la cantidad desconocida.

Tendríamos una situación en forma de tabla similar a:

Ejemplo 2. 

En el árbol que hay frente a mi ventana hay 2 nidos. Cada uno tiene 7 huevos. ¿Cuántos huevos hay  en total?

La representación de la situación sería ahora algo así:

Como vemos pueden representarse por un esquema análogo, que relaciona las cuatro cantidades con las que el problema trabaja.

Este tipo de problemas puede variar su dificultad dependiendo su utilizamos cantidades discretas o continuas, y si los números son naturales, enteros o decimales. Claramente, si estamos introduciendo la operación el objetivo serían números naturales y cantidades discretas.

Los problemas de producto de medida "consisten en una relación ternaria entre tres cantidades, de las cuales, una es el producto de las otras dos, tanto en el plano numérico como el plano dimensional" (Vergnaud, 1997, p. 211).

Ejemplo 3.

Se pueden combinar faldas y camisas para vestirnos. Si tengo 3 camisas y dos faldas, ¿de cuántas formas puedo vestirme?

Para trabajar estos problemas, me gusta utilizar la representación en forma de árbol para su resolución:

 

No quiero terminar sin hacer una recomendación, que espero tener tiempo de desarrollar más en profundidad en una entrada posterior y es la importancia y/o influencia de la estructura aditiva en la multiplicativa, que la investigación de Fernández y Llinares (2011), desarrolla a partir de una experiencia de resolución de problemas con estudiantes de primaria.

Los problemas de un solo espacio de medidas, son problemas donde se establece una comparación entre dos cantidades, "una de estas cantidades actúa como referente y la otra como comparado y la comparación entre ambas se realiza mediante un escalar" (Ivars y Fernández, 2015, p. 329). Será importante tomar conciencia de que dependiendo cuál sea la cantidad ausente, el problema puede ser más o menos asequible dependiendo el momento de aprendizaje del estudiante. 

Ejemplo 4.

A Carmina su abuelo le da 3 euros cada semana. Su hermana María recibe 2 veces más. ¿Cuánto dinero recibe María cada semana?

La representación de este problema podría ser algo así:

Si he dejado para el final este tipo de problemas, precisamente ha sido porque son la tipología que cuando visito aulas se producen un mayor número de obstáculos precisamente por la traducción que se hace del lenguaje natural.

El primer tipo de obstáculo tiene lugar cuando no utilizamos representación, y es lo que se llama "error de inversión". Este tipo de error se produce al confundir en la traducción el lenguaje natural al algebraico. Si bien es verdad en este tipo de problemas sencillos con cantidades pequeñas no hay mucho lugar a confusión, aparecen por ejemplo en problemas "Hay cuatro veces más niños que niñas en una guardería", donde las interpretaciones erróneas (Laserna, Arnau y González, 2014, p. 105) que se pueden hacer en esta situación son:

4 * NIÑOS = NIÑAS 

NIÑAS = 4 * NIÑOS 

NIÑOS * 4 = NIÑAS 

NIÑAS = NIÑOS * 4 

NIÑOS = NIÑAS / 4 

NIÑAS / 4 = NIÑOS 

NIÑAS / NIÑOS = 4 

4 = NIÑAS / NIÑOS

El segundo tipo de obstáculo proviene de la traducción literal del enunciado, que podría dar lugar a una representación así:

Esta interpretación surge de añadir la estructura multiplicativa a la aditiva, e interpretar "dos veces más" no como el doble sino como un "añadido" a la cantidad inicial.

Por lo tanto, en este último tipo de problemas hemos de ser mucho más conscientes en su enseñanza de los posibles obstáculos que pueden tener lugar.

Referencias bibliográficas:

Ivars, P. & Fernández, C. (2016). Problemas de estructura multiplicativa: Evolución de niveles de éxito y estrategias en estudiantes de 6 a 12 años. Educación matemática, 28(1), 9-38. http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1665-58262016000100009

Fernández, C. y Llinares, S. (2011). Del aditivo a la estructura multiplicativa: El efecto de dos variables en el desarrollo del razonamiento proporcional. Journal for the Study of Education and Development, 34(1), 67-80. https://doi.org/10.1174/021037011794390111

Ivars, P. y Fernández, C. (2015). Evolución de los niveles de éxito en la resolución de problemas de estructura multiplicativa en Educación Primaria. En C. Fernández, M. Molina y N. Planas (eds.), Investigación en Educación Matemática XIX (pp. 327-334). Alicante: SEIEM. https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5227411

Laserna, B., Arnau, D. y González, J.A. (2014). La coincidencia del orden de las palabras como un modelo explicativo al error de inversión. En J.L.González, J.A. Fernández-Plaza, E. Castro-Rodríguez, M.T. Sánchez, C. Fernández, J.L. Lupiáñez y  L. Puig (Eds.), Investigaciones en Pensamiento Numérico y Algebraico e Historia de las Matemáticas y Educación Matemática - 2014 (pp. 101-108). Málaga: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM). http://funes.uniandes.edu.co/5350/

Vergnaud, G. (1997). El niño, las matemáticas y la realidad. México: Trillas.

Factorizar un número

Al llegar al aula, me gusta recordar diferentes contenidos matemáticos o procedimientos, que vayan asociados al trabajo del día.
Considero que el buen maestro/a de Educación Infantil debe dominar en profundidad los contenidos desde una perspectiva comprensiva y profunda del significado que tienen, y aún sabiendo que en clase de infantil no van a factorizar números, considero que conocer una buena representación puede dar lugar a actividades guiadas con los niños, quizá no con ese sentido específico pero sí preparándoles incluso para la multiplicación, que es la operación que sustenta esa factorización.

Los maestros necesitan más conocimiento para reconocer conceptos matemáticos específicos utilizados en el juego de los niños para poder aumentar y mejorar el pensamiento matemático en preescolares, medición y clasificación, operaciones, formas y relaciones espaciales. Los maestros necesitan conocimientos para interpretar situaciones matemáticas con el fin de identificar formas de mejorar el pensamiento matemático de los niños. (...)
Lee, J.E. (2017) Preschool Teachers’ Pedagogical Content Knowledge in Mathematics. IJEC 49, 229–243  doi:10.1007/s13158-017-0189-1

 Bueno pues cuando mencioné la palabra factorización, uno de los estudiantes dijo "profe, ¿eso es lo de la rayita?". Son esas cosas que suenan como casi dolientes, pero que demuestran que ese muchacho, no había entendido mucho del significado de factorizar y se había quedado en un procedimiento estanco que ejecutaba probablemente sin mucha reflexión.

Les mostré dos aplicaciones, parecidas y sencillas, para visualizar el significado de factorizar. Ambas pueden sustituir por una representación en papel, pero... ¿por qué no apoyarnos en la tecnología?

Vamos con un número sencillo, el 12.

 Fuente: https://www.nctm.org/Classroom-Resources/Illuminations/Interactives/Factorize/

Fuente: https://mathsbot.com/manipulatives/numberFrames

Factorizar desde esta representación es construir un rectángulo, que al multiplicar sus dimensiones da lugar al número buscado.
Las tareas de exploración en la primera de las aplicaciones son muy interesantes:

Siga las instrucciones para encontrar factorizaciones para varios números. Mientras trabaja, vea si puede responder estas preguntas:

• ¿Por qué crees que la longitud y el ancho de los rectángulos representan los factores de tus números?
• ¿Qué número tiene más factorizaciones? ¿Cuál tiene la menor cantidad? ¿Por qué crees que es esto?
• ¿Qué tipos de números tienen una sola factorización? ¿Qué tienen en común los rectángulos para estas factorizaciones?
• Si duplica un número, ¿qué sucede con el número de factorizaciones? ¿Notas un patrón en las factorizaciones de tu número original y el número duplicado?

¿Les intentas dar respuesta?

Reutilizando una huevera para trabajar con los números

Ya en ocasiones anteriores he utilizado hueveras para diseñar actividades para el aula.

• Aprendimos a multiplicar con los 3 cerditos: https://lasmatesdemama.blogspot.com/2018/01/aprendiendo-multiplicar-con-los-3.html
• Trabajamos la multiplicación como suma reiterada: https://lasmatesdemama.blogspot.com/2017/05/la-multiplicacion-como-suma-reiterada.html
• O la suma: https://lasmatesdemama.blogspot.com/2016/02/en-el-aula-con-blanca-sumar-no-es.html

Hoy me voy a parar en una caja de huevos, que además de permitirme todo esto, tiene otras cuantas opciones disponibles, y que nos llega desde el Pazo de Vilane ¿os lo cuento en imágenes?

CONTEO

El protector de los huevos nos permite desprender unos círculos de cartón que pueden ayudarnos con el conteo.

Conteo estructurado. Este aspecto se refiere a contar un conjunto de objetos que son presentados con una disposición ordenada o desordenada. Por ejemplo: El evaluador pone sobre la mesa un total de 20 cubos de forma desorganizada. El niño es requerido a que cuente todos los cubos. Se le permite señalar o mover los cubos. 

Conteo resultante (sin señalar). El niño tiene que contar cantidades que son presentadas como colecciones estructuradas o no estructuradas y no se le permite señalar o apuntar con los dedos los objetos que tiene que contar. Un ejemplo es: Se le presenta al niño 15 cubos en tres filas de cinco cada una con un espacio entre ellos y se le pregunta: «¿Cuántos cubos hay aquí?» . (Navarro et al. (2010, p. 606).

El protector con sus huecos y un puñado de depresores, puede servirnos para trabajar la suma reiterada como inicio de la multiplicación. En la imagen vemos 3 veces 2: 3 x 2

SUMA REITERADA. MULTIPLICACIÓN

Pero trabajar la multiplicación en forma de tablero puede ayudar además a trabajar la propiedad conmutativa, será suficiente tener unos pompones para ayudarnos a ver qué significa 3 x 2 y 2 x 3. 

MULTIPLICACIÓN. CONMUTATIVA

La ventaja de nuestra caja, es que nos permite guardar todo dentro y poner el nombre de cada niño/a para que cada uno tenga su propio material.

Navarro Guzmán, J. I., Aguilar Villagrán, M., Marchena Consejero, E., Alcalde Cuevas, C., & García Gallardo, J. (2010). Evaluación del conocimiento matemático temprano en una muestra de 3º de Educación Infantil. Revista de Educación, 352, 601-615.

Practicando la multiplicación

Hoy nos escribe en el blog Landy Rivera @Landyta desde Arica (Chile).

Fui a acompañar a la profesora de segundo que me pidió su ayuda para poder enseñar las distribuidas, ellos sólo manejan las tablas (como secuencia) del 2, 5 y 10, ella me pidió ayuda porque no entendía bien y no sabía cómo explicar, y yo no sabía cómo explicarle a niños tan pequeños de una manera entretenida y que llamara su atención. Partimos la clase recordando las secuencias que se saben y jugando como desafíos a descomponer los números usando solo el 1, 2 y 5 (no usamos el 10) luego a través de otro desafío les dije si podían resolver la multiplicación de 4x3 usando solo las tablas del 1, 2 o 5, ya que era las únicas que podía usar en ese juego... luego que dieron ideas de cómo hacerlo descomponiendo el 2+2 o el 2+1 vimos la página y con los mouse inalámbricos iban separando las fichas de diversas formas pero solo utilizando las tablas que sabemos, todo el curso participó, y lo íbamos formalizando en la pizarra, luego hicieron lo mismo a través de la hoja que le entregamos y esta vez ellos debían recortar la hoja y se daban cuenta que daba el mismo resultado pero que así resultaba más fácil resolverlo, y así se nos pasó la clase volando, la profesora continuaría la clase siguiente con el trabajo en el libro... resultó muy interactivo y estimulante para los niños, mezclamos un poco de tecnología y también recortaron y aplicaron su manualidad e ingenio... podrán decir que usamos solo una clase para jugar, pero es necesario para lograr que los niños aprendan, ya que este contenido es una de las bases para aprendizajes posteriores.

Secar hojas para aprender matemáticas

Comienza a llegar el frío y la riqueza de color al campo... los verdes se desdibujan entre ocres y amarillos que brindan a nuestros ojos una explosión de optimismo.

Así que nuestra primera actividad, se centra en los tréboles de cuatro hojas, ¿iniciamos la suma reiterada para prepararnos para la tabla del 4?

Hemos jugado con los tréboles recién cogidos de la maceta -como veis son los tréboles que ya estaban caídos y con algunas hojas un poquito estropeadas-, pero ¿qué tal si los secamos en una pequeña prensa para niños y nos facilitará trabajar con ellos durante todo el año? De esta manera además, tratamos las hojas con mimo, las ponemos con cuidado entre papel absorbible, ...
Estas prensas que puedes comprar en muchas tiendas son un recurso realmente útil; también puedes plantearte fabricarla con cuatro palometas y un par de tablas de contrachapado.

Ahora no tenemos más que elegir distintos tipos de hojas, que más tarde nos permitirán por ejemplo hacer tarjetas o marcapáginas, donde podremos trabajar por ejemplo clasificación, suma reiterada, multiplicación, ...

¿Tan difícil es enseñar matemáticas fuera de un prospecto?: trabajando con las fracciones

Los chicos van creciendo, y con ello avanzamos en las conversaciones matemáticas. Es algo habitual en casa desde que eran pequeños ¡los pobres no eligieron tener dos progenitores profesores de matemáticas!

Ha sido en estas conversaciones, donde he ido descubriendo algunos problemillas con el aprendizaje, sobre todo aquello que han aprendido de manera lejana a una comprensión sólida. Y es que no he intervenido en ninguno de ellos a modo de profesora particular, de este modo se han convertido en una fuente de aprendizaje para mí como docente, porque voy descubriendo qué agujeros puede haber en las etapas obligatorias, siempre siendo consciente que mi muestra es de dos niños, muy distintos entre sí pero con una característica común, ¡les gustan las mates! y ¡son curiosos por aprender!

Bien, pues habiendo situado el día a día, llego a la cena de hace unos días. No sé qué habían estado hablando con el padre, cuando la conversación fue:

• Pues un medio por un medio.
• ¿Este cuál era el del caramelito o el de "así"?

Mientras decía la palabra "así" hacía un gesto con sus manos a modo de paralelas invisibles, de manera perpendicular a su cuerpo.

En ese momento yo que estaba en mi mundo, se me activó la chispa: "¿Caramelito? ¿Qué es eso de caramelo?".

• Pues mami, lo que se hace para multiplicar, así y así -mientras trazaba líneas invisibles cruzadas- y si le puedes cruzar y formar el caramelito y es dividir.

Imagen tomada en el Momath (New York). Julio 2018

Bien, ¿estamos ante una regla mnemotécnica? O ¿realmente piensa que eso es multiplicar o dividir fracciones? Un par de preguntas fueron suficientes para sentir que lo que había aprendido era lo que pondría el prospecto... coloque los números, si tiene esta operación actúe así, y esta otra... así... pero sobre todo no reflexione por las causas.

Así que vamos a hacer dos cosas ahora, pedir a los maestros que siempre que utilicen una regla se aseguren que antes se conoce la utilidad de lo que están automatizando, y otra vamos a mostrar algunas maneras -sin entrar en la resolución de problemas que sería lo útil- que nos sirvan para realizar de manera comprensiva, producto y división de fracciones.

Me gustaría tener a mano mi paquete de regletas, pero las he dejado en la universidad, así que hoy me voy a apoyar en algunas aplicaciones visuales y en unos días haré una nueva entrada con mis regletas de colores.

Vamos a utilizar como aplicación de apoyo: 

https://www-k6.thinkcentral.com/content/hsp/math/hspmath/na/common/itools_int_9780547584997_/fractions.html

Podríamos utilizar papel cuadriculado, lapiceros de colores y unas tijeras, en caso que no tuviésemos acceso a ella.

Iniciamos "la ronda de preguntas":

- ¿Qué significa multiplicar una fracción por otra?

- ¿Cómo podemos ilustrar la operación?

Hacer tres quintos por un cuarto, podemos leerlo de manera más comprensiva como "tres quintos de un cuarto", así tendríamos que tener claro que es un cuarto, por eso el cuadrado originariamente lo dividimos en cuatro tiras "verticales", y nos quedamos con una "un cuarto". De esa tira tenemos que elegir "tres quintos", por eso la dividimos en cinco partes y nos quedamos con tres. El resultado es la parte que hemos dejado en color verde.

Reflexionemos, nuestro cuadrado se dividió entonces en 20 partes (¿de qué manera se relaciona con los denominadores?), de ellas tomamos 3 (¿de qué manera se relaciona con los numeradores?).

Veamos otro ejemplo:

Ahora el cuadrado (que en nuestro caso representa "la unidad"), lo dividimos en 5 tiras verticales, y nos quedamos con dos (2/5). Tenemos que dividir esas dos tiras en cuatro partes y quedarnos con 3 (3/4), el resultado es 6 trocitos de los 20 que teníamos.

No intentemos ahora hablar de equivalencia, ni fracciones irreducibles, ... dejemos que puedan trabajar la multiplicación descubriendo ellos mismos el algoritmo.

Para introducir la división podemos actuar de una manera parecida, ilustrando lo que estamos haciendo, pero en esta ocasión me gusta iniciarlo mezclando números naturales y fracciones. Por ejemplo, 3 dividido por 1/2, o lo que es lo mismo: ¿cuántas veces me cabe 1/2 en 3? O al contrario, tomar la fracción como dividendo y el número natural como divisor, para poder hacer pequeños pedazos desde tiras de papel.

Vamos a utilizar una aplicación también en este caso, para ayudarnos a visualizar:

https://www.splashmath.com/math-skills/fifth-grade/fractions/divide-unit-fraction-by-a-whole

Vemos la manera verbal de expresión, divide un cuarto en 6 partes iguales. El inicio sería una tira de papel, da igual la longitud, la dividiríamos en 4 partes iguales para ver qué es un cuarto, y desde ahí y con ese pequeño pedazo la dividiríamos entre 6.

Una vez tengamos claro cuál es el resultado, en nuestro caso ese pequeño pedazo amarillo, ¿qué significa en el total de la tira, ¿cuántos de esos pequeños pedazos tenemos? Será sencillo ver que tenemos 24, y nuestro resultado es 1/24.

Puedes trabajar de manera inicial con números más pequeños, dado que las divisiones de papel serán más sencillas de manejar. Por ejemplo,

O en sentido inverso, cuando tenemos que visualizar primero una tira que diremos es 1, unirla a otras del mismo tamaño para conseguir el número de partida y preguntarnos entonces, ¿cuántas veces cabe la fracción en ese número?

En este caso, 6 veces. Los chicos irán descubriendo el algoritmo, poco a poco, no será necesario contarles ningún aspecto mágico como "multiplicar en cruz", "en aspa" o "el pescadito". Una vez que este proceso está claro, pasaremos a utilizar en los dos términos una fracción.

Esto lo dejo para una entrada posterior, que ya sabéis que no me gusta que sean demasiado extensas, y me gustaría hacer algunas fotos para ilustrarla.

Aprendiendo a multiplicar con los 3 cerditos

Esta semana Sonia y Mercedes me invitaron a su clase, todo un placer porque tienen este año en segundo de primaria unos niños maravillosos. ¡Qué alegría me dio que aquellos pequeños se acordasen de mí en un proyecto de hace dos años!

Y, ¿qué hicimos? Pues iniciamos el trabajo con la multiplicación desde la suma reiterada, y ¡qué mejor que sustentarlo en un cuento!.
Iniciamos la tarea con el cuento, ¡qué bonita versión es esta!
https://issuu.com/mi_cuento/docs/los_3_cerditos

Los siguientes pasos del proceso os los describo de manera ordenada para que no se me olviden:
1. Tras el cuento los niños dibujaron las casas de los cerditos. Me encanta ver la creatividad e imaginación de algunos pequeños.

2. El siguiente paso requería que diésemos un ladrillo a cada uno de los cerditos, así que nos ayudamos de las regletas.

3. Después dos ladrillos para cada cerdito:

4. Según íbamos aumentando el número de ladrillos, en la pizarra íbamos anotando qué iba sucediendo.
Unas veces yo y otras los niños.

5. Pues así... construimos la tabla del 3.
Pero no nos quedamos en la suma reiterada, sino que aprendimos que hay una operación que nos ayuda, y que el símbolo es como el aspa del molino que tenían en clase el año pasado.
Y que nos sirve para contar a la vez los ladrillos y el número de casas, y que la tenemos que leer como "el número de veces".

1+1+1=1x3, es 1 ladrillo 3 veces porque tengo 3 casitas
2+2+2=2x3, es 2 ladrillos 3 veces porque tengo 3 casitas
3+3+3=3x3, es 3 ladrillos 3 veces porque tengo 3 casitas...

Poco a poco nuestros cerditos iban teniendo muchos más ladrillos para hacer las casitas.

6. Así que el siguiente paso fue tener muchas más casitas, para lo que nos ayudó que en cada mesa tuviésemos una huevera y los niños pudiesen trabajar por grupos. Colocábamos los ladrillos sobre los huecos, y anotábamos en nuestras hojas de papel qué iba sucediendo.

¡Maravilloso!... Algunos niños escribían incluso las unidades de manera espontánea ¡ladrillos!

7. Propiedades como la conmutativa, las descubrían ellos al darse cuenta de... ¡Blanca si tengo los mismos ladrillos que antes!

Así que vimos un montón de resultados de distintas tablas, experimentaron con el significado de la operación de una manera constructiva.

¡Gracias Sonia y Mercedes por haberme invitado! Nos vemos pronto para seguir contando cuentos.

Sólo una vez con la mala fama de las matemáticas; el propio aprendizaje se vuelve más alegre y opera a mayores profundidades el organismo humano. Para contar, recitar las tablas de multiplicar (hacia adelante y espalda), en colaboración con las unidades, centenas, decenas, etc. - no hay límite para la fantasía del maestro con el fin de hacer que los estudiantes a pie hacia delante o hacia atrás, aplaudir con fuerza o no (números acentuando deseado), se unen, etc., todo esto mucho antes de pensar en cuadernos, ejercicios montados y etc.
Los niños conquistan el espacio de los números con el cuerpo, el alma y con el espíritu. Así que estas clases son alegres, ruidoso a veces, pero de cualquier manera los estudiantes les encanta. (Lanz, 2005, p 131)