Las tablas de multiplicar como obstáculo

Cada vez que me preguntan en un colegio por cómo enseñar las tablas de multiplicar, vuelvo a tener la misma sensación, esa que un día viví como mamá cuando Carmen y Juan tuvieron que memorizar aquellas tablas tras colorearlas, cuando ellos ya sabían multiplicar, o mejor sabían lo que era multiplicar, y eso no era memorizar aquellas tablas.

Y aquella sensación no fue agradable entonces, y aún menos lo es ahora.

En ocasiones previas en el blog ya he escrito sobre la multiplicación, es sencillo localizar las entradas desde el listado de palabras clave que encontrarás en el margen derecho, pero... ¿por qué acudo de nuevo a este tema? Pues precisamente por eso, porque me siguen preguntando por las tablas, parece que poco ha cambiado de manera general en los últimos años (Figura 1), y por la importancia que supone para el futuro el aprendizaje de la multiplicación.

Figura 1

Tablas de multiplicar

Nota. Hilprecht (1906 , citado en Bernard et al., 2014, p.32).

Partimos de que la multiplicación conviene introducirla como suma reiterada. Desde objetos cotidianos, con una buena representación, alternando el material manipulativo con el "dibujo" de la situación, hecho por los niños/as o la maestra/o, podemos hacer ver las distintas formas que tenemos de representar situaciones. Desde contextos reales, cercanos al niño, y que le resulte sencillo de dibujar o representar.

Insisto, aún a riesgo de ser pesada, en el asunto de la representación. Esta representación además es fundamental que cuestione el significado de conjuntos iguales que se repiten, o que no son iguales (Figura 2).

Figura 2

Representaciones para iniciar la multiplicación

Nota. https://www.ncetm.org.uk/classroom-resources/cp-year-2-unit-5-introduction-to-multiplication/

El lenguaje que acompañe estas primeras representaciones, al igual que la solicitud de acción al niño resultarán fundamentales para que dé sentido a lo que está haciendo antes de pasar a utilizar símbolos numéricos.

Las consignas para dar lugar a su acción pueden ser del tipo:

- Tenemos X objetos, ¿puedo hacer grupos iguales? 

- ¿Son los conjuntos de la imagen iguales?

- ¿Cuántos objetos hay en total? 

- ¿Cuántos grupos de objetos hay en total? ¿Cuántos objetos en cada grupo? (...)

Poco a poco podremos pasar a expresiones, dando lugar a que el niño relate el porqué de su respuesta a la pregunta:

- ¿Qué tenemos en la imagen "cuatro grupos de tres" o "tres grupos de cuatro"?

El paso así a expresar, la situación de la Figura 2 (grupos iguales) como 3+3+3+3, nos llevará a la lectura como "cuatro grupos de tres", y escribiremos como 4x3.

Yo lo estoy relatando demasiado deprisa, pero esto son semanas de trabajo, de juego, de dar sentido a la acción, de utilizar materiales cotidianos para representar y dar respuestas a situaciones concretas.

Y aquí viene el siguiente paso, y alguien nos diría cosas así como "para que tenga fluidez en el cálculo ahora es cuando hay que aprender las tablas de multiplicar". Así que, hagamos un ejercicio de reflexión. La expresión "cuatro grupos de tres", lo podremos leer como "cuatro veces tres", o 4x3, ¿y esto qué es la tabla del cuatro o del tres? (Figura 3).

Figura 3

Tablas del 3 y del 4

Nota. https://www.tablasdemultiplicar.com/

Si leemos la primera tabla, más allá del 3 por 1, o 3 por 7,... por ejemplo, vamos a pararnos en la lectura de la tabla tal como hemos hecho desde la construcción de grupos. Nuestra expresión está en la tabla del 4. ¿Leemos la tabla del cuatro?

4 veces 1, es cuatro

4 veces 2, es ocho

4 veces 3, es doce

4 veces 4, es dieciséis

(...)

Si nos damos cuenta, esta interpretación de la repetición no es la que habitualmente se hace con las tablas, el cuatro en este caso es el número de veces que se repite cada número, no "el número que se repite". 

La consigna de la maestra/o debe ir también dirigida a que el niño descubra que el resultado de "cuatro veces tres" coincide con "tres veces cuatro". La expresión verbal resultará fundamental y es que la investigación previa muestra hallazgos que "sugieren que las tablas de multiplicar se recuperan a través del procesamiento verbal durante el cálculo de la multiplicación incluso en la edad adulta" (Qu et al., 2021).

Pero ¿es necesario memorizar la tabla? ¿Realmente tiene algún sentido? Pues parto de que puede ser una manera de descontextualizar el aprendizaje y causar obstáculos a posteriori (De Visscher & Noël, 2014).

Las fases dadas por Baroody (Figura 4) para el dominio de hechos numéricos básicos, señalan la necesidad de representar y conectar.

Figura 4

Fases para el dominio de hechos numéricos 

Nota. Baroody citado en Kling & Bay-Williams, 2015, p.551.

Así, hemos de trabajar con una serie de estrategias que faciliten la práctica, respetando el ritmo de cada niño/a, y utilizando distintos materiales y registros de representación que se adecuen al contexto de la operación, recordemos que es importante combinar la resolución de problemas con la práctica de la operación. Siguiendo las recomendación de Kling y Bay-Williams (2015).

- Representación en forma de matriz, que nos muestre distintas ordenaciones de manera que se facilite el agrupamiento por filas y columnas.

- Representaciones en forma de matriz con cuadrados: 2x2, 3x3, ...

- Sumar o restar grupos: "9 × 6, así que pienso "10× 6 = 60" y resto un grupo de 6 para obtener 54".

- Trabajar con la mitad y duplicar: "6 × 8, así que pienso "3 × 8 = 24" y lo doblo para obtener 48".

- Uso de productos cuadrados cercanos: "7 × 6. Uso 6 × 6 = 36 y sumo un 6 más para obtener 42".

- Descomponer uno de los factores: "Divida uno de los factores en una suma conveniente de hechos conocidos, encuentre los dos hechos conocidos y combine los productos. Para hacer 7 x 6. Divido el 7 en 2 y 5, porque sé 2 × 6 y 5 × 6. Luego sumo 12 y 30 para obtener 42".

14 + 7 = 14 + (6 + 1) = (14 + 6) + 1 = 20 + 1.  

7. "Los estudiantes pueden usar operaciones de 2, 5 y 10 para resolver operaciones cercanas, como 3, 4, 6 y 9. Por ejemplo, los 6 hechos (6 × n) se pueden encontrar comenzando con cinco grupos del otro factor, más un grupo más de ese factor (5 × n + n)".

Otras prácticas ya mencionadas en el blog de manera previa, puede ser el trabajo con papel cuadriculado para representar en forma matricial distintas operaciones. Juegos cuyo resultado conlleve a la realización de la operación. 

En el documento de Flowers y Rubenstein (2010) puedes encontrar una tabla al final que te puede ayudar para desarrollar algunas prácticas que te ayuden para acompañar a los niños/as.

Referencias bibliográficas:

Bernard, A., Proust, C., & Ross, M. (2014). Mathematics education in antiquity. In A. Karp & G. Schubring (Eds.) Handbook on the history of mathematics education (pp. 27-53). Springer.

De Visscher, A., & Noël, M.P. (2014). The detrimental effect of interference in multiplication facts storing: Typical development and individual differences. Journal of Experimental Psychology: General, 143(6), 2380–2400. https://doi.org/10.1037/xge0000029

Flowers, J.M., & Rubenstein, R.N. (2010). Multiplication fact fluency using doubles. MatheMatics teaching in the Middle school, 16(5), 296-301.

Kling, G., & Bay-Williams, J.M. (2015). Teaching Children Mathematics, 21(9), 548-559.

Maki, K.E., Zaslofksy, A.F., Knight, S., Ebbesmeyer, A.M., & Chelmo-Boatman, A. (2021). Intervening with Multiplication Fact Difficulties: Examining the Utility of the Instructional Hierarchy to Target Interventions. J Behav Educ, 30, 534–558. https://doi.org/10.1007/s10864-020-09388-0

Qu, C., Szkudlarek, E., & Brannon, E. M. (2021). Approximate multiplication in young children prior to multiplication instruction. Journal of experimental child psychology, 207, 105116. https://doi.org/10.1016/j.jecp.2021.105116

Secar hojas para aprender matemáticas

Comienza a llegar el frío y la riqueza de color al campo... los verdes se desdibujan entre ocres y amarillos que brindan a nuestros ojos una explosión de optimismo.

Así que nuestra primera actividad, se centra en los tréboles de cuatro hojas, ¿iniciamos la suma reiterada para prepararnos para la tabla del 4?

Hemos jugado con los tréboles recién cogidos de la maceta -como veis son los tréboles que ya estaban caídos y con algunas hojas un poquito estropeadas-, pero ¿qué tal si los secamos en una pequeña prensa para niños y nos facilitará trabajar con ellos durante todo el año? De esta manera además, tratamos las hojas con mimo, las ponemos con cuidado entre papel absorbible, ...
Estas prensas que puedes comprar en muchas tiendas son un recurso realmente útil; también puedes plantearte fabricarla con cuatro palometas y un par de tablas de contrachapado.

Ahora no tenemos más que elegir distintos tipos de hojas, que más tarde nos permitirán por ejemplo hacer tarjetas o marcapáginas, donde podremos trabajar por ejemplo clasificación, suma reiterada, multiplicación, ...

Aprendiendo a multiplicar con los 3 cerditos

Esta semana Sonia y Mercedes me invitaron a su clase, todo un placer porque tienen este año en segundo de primaria unos niños maravillosos. ¡Qué alegría me dio que aquellos pequeños se acordasen de mí en un proyecto de hace dos años!

Y, ¿qué hicimos? Pues iniciamos el trabajo con la multiplicación desde la suma reiterada, y ¡qué mejor que sustentarlo en un cuento!.
Iniciamos la tarea con el cuento, ¡qué bonita versión es esta!
https://issuu.com/mi_cuento/docs/los_3_cerditos

Los siguientes pasos del proceso os los describo de manera ordenada para que no se me olviden:
1. Tras el cuento los niños dibujaron las casas de los cerditos. Me encanta ver la creatividad e imaginación de algunos pequeños.

2. El siguiente paso requería que diésemos un ladrillo a cada uno de los cerditos, así que nos ayudamos de las regletas.

3. Después dos ladrillos para cada cerdito:

4. Según íbamos aumentando el número de ladrillos, en la pizarra íbamos anotando qué iba sucediendo.
Unas veces yo y otras los niños.

5. Pues así... construimos la tabla del 3.
Pero no nos quedamos en la suma reiterada, sino que aprendimos que hay una operación que nos ayuda, y que el símbolo es como el aspa del molino que tenían en clase el año pasado.
Y que nos sirve para contar a la vez los ladrillos y el número de casas, y que la tenemos que leer como "el número de veces".

1+1+1=1x3, es 1 ladrillo 3 veces porque tengo 3 casitas
2+2+2=2x3, es 2 ladrillos 3 veces porque tengo 3 casitas
3+3+3=3x3, es 3 ladrillos 3 veces porque tengo 3 casitas...

Poco a poco nuestros cerditos iban teniendo muchos más ladrillos para hacer las casitas.

6. Así que el siguiente paso fue tener muchas más casitas, para lo que nos ayudó que en cada mesa tuviésemos una huevera y los niños pudiesen trabajar por grupos. Colocábamos los ladrillos sobre los huecos, y anotábamos en nuestras hojas de papel qué iba sucediendo.

¡Maravilloso!... Algunos niños escribían incluso las unidades de manera espontánea ¡ladrillos!

7. Propiedades como la conmutativa, las descubrían ellos al darse cuenta de... ¡Blanca si tengo los mismos ladrillos que antes!

Así que vimos un montón de resultados de distintas tablas, experimentaron con el significado de la operación de una manera constructiva.

¡Gracias Sonia y Mercedes por haberme invitado! Nos vemos pronto para seguir contando cuentos.

Sólo una vez con la mala fama de las matemáticas; el propio aprendizaje se vuelve más alegre y opera a mayores profundidades el organismo humano. Para contar, recitar las tablas de multiplicar (hacia adelante y espalda), en colaboración con las unidades, centenas, decenas, etc. - no hay límite para la fantasía del maestro con el fin de hacer que los estudiantes a pie hacia delante o hacia atrás, aplaudir con fuerza o no (números acentuando deseado), se unen, etc., todo esto mucho antes de pensar en cuadernos, ejercicios montados y etc.
Los niños conquistan el espacio de los números con el cuerpo, el alma y con el espíritu. Así que estas clases son alegres, ruidoso a veces, pero de cualquier manera los estudiantes les encanta. (Lanz, 2005, p 131)

La multiplicación como suma reiterada

En estos días, me preguntaba Elvira cómo trabajar la multiplicación, y hoy quiero aproximarme al inicio del trabajo con los niños para que de partida tengan clara la respuesta a una pregunta: "¿qué significa multiplicar?".
En la escuela, muchas veces cuando se comienza la multiplicación, se le da a los niños una hoja que deben colorear con las tablas de multiplicar escritas -ya comenté en otras entradas que como madre tuve que vivir esta experiencia-, sin embargo, la consolidación de las tablas debe ser muy a posteriori y con suerte serán los niños los que les darán sentido. Veremos esto en una entrada posterior, hoy solo quiero comenzar el trabajo con la multiplicación.
El material, parte de un mismo lugar, "la multiplicación como suma reiterada", para dar lugar a este tipo de situaciones:

"Sandra reconoce que se trata de un problema de suma y realiza una suma reiterada de 7500, maneja correctamente el algoritmo, y posteriormente enuncia la multiplicación y el resultado y entiende que las dos operaciones producen el mismo resultado" (Orozco-Hormaza, 2000, p.149).

 

Trabajamos con cuerdas con cuentas, algo similar al trabajo que puede hacerse con los quipus; colocaremos una cuerda con varias cuerdas colgadas. Para indicar las posiciones podemos colocar una pinza sobre la intersección con el número, e iremos introducciendo las cuentas de acuerdo al número de veces que queremos reiterar, en la imagen vemos el caso del 3. 

También en esta ocasión trabajamos de la misma manera, pero he utilizado los tapones de la leche, podemos pegarlos sobre un cartón pluma para dar más estabilidad al aparato, y dejar que los niños vayan colocando garbanzos o cuentas sobre esta disposición. Será importante el conteo posterior claro, para ir construyendo el algoritmo de la multiplicación.

El último material replica al anterior, pero en esta ocasión la base es una huevera, ya sabéis que me encantan estos objetos, además podemos colorearla para que se convierta en un instrumento que llame más la atención a los niños.
El final de estos materiales, es construir las tablas a partir de la suma, e intentar que los niños descubran el significado de la propiedad conmutativa de manera guiada a partir del planteamiento de interrogantes del tipo:

¿es lo mismo 2 veces 3 que 3 veces 2?

¿Nos animamos a introducir la multiplicación?

Referencias:

Orozco-Hormaza, M. (2000). El análisis de tareas: cómo utilizarlo en la enseñanza de la matemática en primaria. Revista EMA, 5(2), 139-151.

Esta entrada participa en la Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos” del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, matematicascercanas